Eindeutigkeit des Grenzwertes von Folgen

31.03.2006, 14:19

Daktari

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Eindeutigkeit des Grenzwertes von Folgen

Hi, ich soll die Eindeutigkeit des Grenzwertes von Folgen zeigen.

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Folge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

Def. GW $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists N : \forall n \geq N :|x_n -a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} b\neq a \end{eqnarray*}$ ein weiterer Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists M : \forall n \geq M :|x_n -b| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Also ab einem bestimmten N sind alle Folgenglieder vom einem Abstand $\begin{eqnarray*} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ zum Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ entfernt.

Mein Gefühl sagt mir, dass s im Falle "zweier Grenzwerte" $\begin{eqnarray*} N \neq M \end{eqnarray*}$ ist.
Sei o.B.d.A. N<M
Wenn's für alle $\begin{eqnarray*} n\geq M \end{eqnarray*}$ gilt, dann "entfallen" die "ersten paar Werte" von N
Damit gilts aber nicht für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

WIDERSPRUCH?
WIe schreibt man diesen Beweis sauber auf?

31.03.2006, 14:56

JochenX

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Wähle für epsilon |a-b|/2 oder gleich |a-b|/3.
Nach Aussage, dass a,b Grenzwerte sind findest du zu diesem epsilon dein N und M und betrachtest das Maximum der beiden Werte, ab denen also dein Folge in BEIDEN Epsilonstreifen liegt (nach Aussage).
=> Widerspruch.

31.03.2006, 15:10

Daktari

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Zitat:

Original von LOED
Wähle für epsilon |a-b|/2 oder gleich |a-b|/3.
Nach Aussage, dass a,b Grenzwerte sind findest du zu diesem epsilon dein N und M und betrachtest das Maximum der beiden Werte, ab denen also dein Folge in BEIDEN Epsilonstreifen liegt (nach Aussage).
=> Widerspruch.

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists N : \forall n \geq N :|x_n -a| < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists M : \forall n \geq M :|x_n -b| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Sei nun $\begin{eqnarray*} \epsilon=\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} |x_n -a| <\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} |x_n -b| <\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$

Geht die Aussage "Maximum der beiden Werte M,N betrachten, ab denen die Folge in BEIDEN Epsilonstreifen liegt" auch mathematischer ?

31.03.2006, 15:18

klarsoweit

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Wähle $\begin{eqnarray*} K = \frac{M+N}{2} + \frac{\mid M-N \mid}{2} \end{eqnarray*}$
als Umschreibung für das Maximum.

31.03.2006, 15:21

JochenX

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wähle $\begin{eqnarray*} K=\max\{M,N\} \end{eqnarray*}$ , wenn dir der Formalismus von Klarsoweit zu formal ist

Die Maximumsfunktion ist sehr mathematisch.
Alternativ hilt: OE M>N, denn solange deine Grenzwerte nur a,b heißen ist da alles symmetrisch.

Dritter Trick: Wähle K=M+N und überlege, warum auch das hilft.

Verzeih mir, Klarsoweit, ich bin da eher von der einfachen Sorte.

31.03.2006, 15:25

therisen

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Hallo Daktari,
du schreibst (noch) etwas zu unpräzise: Du solltest auch eine klare Abgrenzung zwischen Dialekt/Umgangssprache ("dass s im Falle") (Was ist s? Eine reelle Zahl?) und Mathematik einhalten.

Eine Möglichkeit hat dir klarsoweit schon genannt, die andere wäre zu schreiben: $\begin{eqnarray*} \max\{M,N\} \end{eqnarray*}$ (wobei das auf seine Variante hinausläuft).

Für $\begin{eqnarray*} n > \max\{M,N\} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a-b|\leq |a-x_n|+|x_n-b| \leq \ldots \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

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31.03.2006, 15:32

Daktari

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Ich probiers nochmal

Seien $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ die Grenzwerte der Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$
Dann ex. ein N, so dass gilt $\begin{eqnarray*} d(a,x_n)<\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ und es ex. ein M, so dass gilt $\begin{eqnarray*} d(b,x_n)<\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

Sei ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ gegeben.
Dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall n>max \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} N,M \end{eqnarray*}$ }
$\begin{eqnarray*} d(a,b)\leq d(a,x_n)+d(b,x_n)=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$

wenn daraus nun $\begin{eqnarray*} d(a,b)=0 \end{eqnarray*}$ folgen würde, dann wäre $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} d(a,b)=|a-b|=0<=> a=b \end{eqnarray*}$ und der Beweis wäre fertig.

31.03.2006, 15:34

Daktari

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Zitat:

Original von therisen
Hallo Daktari,
du schreibst (noch) etwas zu unpräzise: Du solltest auch eine klare Abgrenzung zwischen Dialekt/Umgangssprache ("dass s im Falle") (Was ist s? Eine reelle Zahl?) und Mathematik einhalten.
Gruß, therisen

s:= Schreibfehler Prost

Prost

"dass ES m Falle"...

31.03.2006, 15:35

JochenX

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Manchmal können deutsche Sätze auch wahres Wunder wirken, wer mag garniere das ganze mit einer Zeichnung und einer Definition des Epsilonstreifens:

Seien a,b Grenzwerte.
Annahme: sei a<>b.
Wähle epsilon=..... >0 (wie oben)

Offensichtlich sind die beiden Epsilonstreifen um a und b disjunkt; somit kann der Folgenwert nie in beiden zugleich sein.
Ist ab einem N_a die Folge stets im Epsilonstreifen um a, so liegt sie ab diesem N_a stets NICHT in b, also: a Grenzwert => b KEIN Grenzwert
Widerspruch.

Nur als Nachtrag, folge nun Michis Formalismen, wenn dir das lieber ist.

31.03.2006, 16:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Daktari
Dann gilt $\begin{eqnarray*} |x_n -a| <\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} |x_n -b| <\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$

Also ich gebe meinen Senf auch nochmal dazu.
Obige Ungleichungen gelten für n > max(N; M).
Jetzt addiere diese und wende auf der linken Seite die Dreiecks-Ungleichung an.

31.03.2006, 16:18

Daktari

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$\begin{eqnarray*} |x_n -a|+|x_n -b| <\frac{|a-b|}{3}+\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |(x_n-a)+(x_n-b)| \leq |x_n -a|+|x_n -b| < \frac{|a-b|}{3}+\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$

Ihr haltet mich bestimmt für total bescheuert, abe ich versteh da grad nix traurig

traurig

Was gibts hier zu sehen?

31.03.2006, 16:34

therisen

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Du musst noch die Information aus meinem Beitrag nutzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Damit erhältst du dann insgesamt:

$\begin{eqnarray*} 3\epsilon < 2\epsilon \end{eqnarray*}$

Denk mal drüber nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

31.03.2006, 17:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Daktari
$\begin{eqnarray*} |(x_n-a)+(x_n-b)| \leq |x_n -a|+|x_n -b| < \frac{|a-b|}{3}+\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$

Vielleicht siehst du mehr, wenn ich mal obige Ungleichung etwas verändere:
$\begin{eqnarray*} |a - x_n|+|x_n -b| < \frac{|a-b|}{3}+\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$

Und jetzt nochmal auf der linken Seite die Dreiecksungleichung.

31.03.2006, 23:49

Daktari

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Zitat:

Original von klarsoweit
Vielleicht siehst du mehr, wenn ich mal obige Ungleichung etwas verändere:
$\begin{eqnarray*} |a - x_n|+|x_n -b| < \frac{|a-b|}{3}+\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$
Und jetzt nochmal auf der linken Seite die Dreiecksungleichung.

$\begin{eqnarray*} |a-b|=|a-x_n+x_n-b|\leq|a - x_n|+|x_n -b| < \frac{|a-b|}{3}+\frac{|a-b|}{3} \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} |a-b|<\frac{2|a-b|}{3}<=>3|a-b|<2|a-b| \end{eqnarray*}$
Also kommt man zu einem WIDERSPRUCH, wenn man annimmt, dass es mehrere Grenzwerte gibt.
Folglich gibt es nur einen Grenzwert Tanzen

Tanzen

Ist das so richtig interpretiert?

@therisen
Wie komme ich hier mit deinem Ansatz weiter?
Du meinst doch die Definitheit einer Metrik( $\begin{eqnarray*} d(a,b)=0<=>a=b \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} d(a,b)\leq d(a,x_n)+d(b,x_n)=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$

wenn daraus nun $\begin{eqnarray*} d(a,b)=0 \end{eqnarray*}$ folgen würde, dann wäre $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} d(a,b)=|a-b|=0<=> a=b \end{eqnarray*}$ und der Beweis wäre fertig.

01.04.2006, 09:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Daktari
Also kommt man zu einem WIDERSPRUCH, wenn man annimmt, dass es mehrere Grenzwerte gibt.
Folglich gibt es nur einen Grenzwert Tanzen

Tanzen

Ist das so richtig interpretiert?

Ja!

Freude

Zitat:

Original von Daktari
@therisen
Wie komme ich hier mit deinem Ansatz weiter?
...
$\begin{eqnarray*} d(a,b)\leq d(a,x_n)+d(b,x_n)=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$

War das nicht ursprünglich dein Ansatz? Aber egal. Das geht genauso:
$\begin{eqnarray*} \epsilon = d(a,b) \leq d(a,x_n)+d(b,x_n) < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$
Und damit auch wieder ein Widerspruch. Entscheidend ist das echte Ungleichheitszeichen.

01.04.2006, 12:58

Daktari

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Zitat:

Original von klarsoweit
War das nicht ursprünglich dein Ansatz? Aber egal. Das geht genauso:
$\begin{eqnarray*} \epsilon = d(a,b) \leq d(a,x_n)+d(b,x_n) < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$
Und damit auch wieder ein Widerspruch. Entscheidend ist das echte Ungleichheitszeichen.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} \epsilon:=\frac{|a-b|}{2} \end{eqnarray*}$

Müsste es dann nicht folgendermaßen heißen?
$\begin{eqnarray*} \frac{|a-b|}{2}+\frac{|a-b|}{2}=2\epsilon = d(a,b) \leq d(a,x_n)+d(b,x_n) < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$

01.04.2006, 13:32

klarsoweit

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Von mir aus auch so. Das ist alles gehüpft wie gesprungen.
Wählt man $\begin{eqnarray*} \epsilon:=\frac{|a-b|}{2} \end{eqnarray*}$ , dann muß man N so groß wählen, daß $\begin{eqnarray*} d(a,x_n)< \epsilon \text{ und } d(a,x_n)< \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

01.04.2006, 15:18

Daktari

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Dann hab ich's jetzt verstanden. Idee!

Idee!

Hammer

Ich danke euch allen das ihr so viel Gedult mit mir, wegen einem so trivialen Beweis, hattet. Gott

Gott

. Nochmals vielen Dank Prost

Prost

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