Definitionsbreich betimmen!

27.06.2008, 12:07

Stefan09

Definitionsbreich betimmen!

Hallo,

ich habe hier eine funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln((x^2-3*x+2)/(x+1)) \end{eqnarray*}$

So nun muss ich den Definitionsbereich bestimmen.

Ich unterscheide zwei Fälle, wo die ln-Funktion nicht negativ wird

$\begin{eqnarray*} ln(Z/N) > 0 => Z/N > 0 \end{eqnarray*}$

Fall1: Z > 0 und N > 0
Fall2: Z < 0 und N < 0

Fall1:
$\begin{eqnarray*} x^2-3*x+2 > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1 > 0 \end{eqnarray*}$

x1 = 2
x2 = 1

=> 1 > x > 2 , weil Z darf ja nicht negativ werden

$\begin{eqnarray*} x+1 > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$

=> x > -1 , weil N darf ja nicht negativ werden

Ist für Fall1 der Definitionsbereich
$\begin{eqnarray*} D= ]-1,1[ und ]2,infinity[ \end{eqnarray*}$ ?

Fall2:
$\begin{eqnarray*} x^2-3*x+2 < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1 < 0 \end{eqnarray*}$

=> 1 < x < 2 , weil Z negativ sein muss

$\begin{eqnarray*} x+1 < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$

somit haben wir kein Definitionsbereich, da eine Zahl x nicht zwischen 1 und 2 sein kann und kleiner als -1.
D = {}

Kann mir einer sagen ob die Aufgabe besonders im Fall1 richtig gerechnet wurde?

27.06.2008, 12:15

tigerbine

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Kurz vor der Mittagspause
Better tex:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln\Bigl(\frac{x^2-3x+2}{x+1}\Bigr) \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]f(x) = \ln\Bigl(\frac{x^2-3x+2}{x+1}\Bigr)[/latex]

Check1: Der Nenner

$\begin{eqnarray*} x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1 \end{eqnarray*}$

Check2: Der Logarithmus

1. Nullstellen des Zählers aussschließen
2. gütige Kombinationen: Zähler und Nenner sind negativ/positiv

27.06.2008, 12:20

Stefan09

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ich weiß jetzt nicht was du genau mir sagen willst

also heiß das, dass der Nenner nicht -1 sein darf aber -1.5 oder -2, warum???

Meine Bedingung ist doch damit nicht erfüllt N > 0

27.06.2008, 17:35

tigerbine

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Ich will dir damit sagen, was es zu Prüfen gibt. Bruch und Logarithmus. Teil 2 habe ich doch gar nicht im Details hingeschrieben - aus Zeitmangel. Sondern nur Punkt 1. Da fällt eben x=-1 schon mal aus den Möglichkeiten raus. Wink

27.06.2008, 21:20

Leopold

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Ich würde nicht nach Zähler und Nenner qualifizieren, sondern nach Faktoren:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 3x + 2}{x+1} = \frac{(x-1)(x-2)}{x+1} \end{eqnarray*}$

Und ein Term der Form $\begin{eqnarray*} \frac{AB}{C} \end{eqnarray*}$ ist nur dann positiv, wenn entweder alle drei Glieder $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ positiv sind oder zwei der Glieder negativ sind und eines positiv.

Du kannst auch einfach durch die Berechnung von jeweils einem Wert den Vorzeichentest für die vier offenen Intervalle machen, in die $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \{ -1,1,2 \} \end{eqnarray*}$ zerfällt (Kontraposition des Zwischenwertsatzes).

30.06.2008, 10:17

TheWitch

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Das Vorgehen und die einzelnen Schlussfolgerungen oben sind doch ok - allein an der formalen Ausführung hapert es gewaltig, insbesondere im Fall 1.

Zitat:

Original von Stefan09
=> 1 > x > 2 , weil Z darf ja nicht negativ werden

Das ist eine Schreibweise, die absolut nicht geht. Korrekt wäre x < 1 oder x > 2, formal geschrieben: $\begin{eqnarray*} x < 1 \vee x > 2 \end{eqnarray*}$ . Zusammen mit x > - 1 für den Nenner ergibt sich für den Definitionsbereich im ersten Fall $\begin{eqnarray*} D_1 = \{x\in \mathbb R ~|~-1 < x < 1 \vee x > 2\} \end{eqnarray*}$ .

(Will man unbedingt die Intervallschreibweise, dann: $\begin{eqnarray*} D_1 =~ ]-1; 1[ ~\cup~]2; \infty [ \end{eqnarray*}$ )

Im Fall zwei ist - wie richtig erkannt, der Definitionsbereich leer, also: $\begin{eqnarray*} D_2 = \{~~~\} \end{eqnarray*}$

Was fehlt, ist jetzt noch die Schlussfolgerung auf den Gesamtdefinitionsbereich:
$\begin{eqnarray*} D = D_1 \cup D_2 = D_1 = \{x\in \mathbb R ~|~-1 < x < 1 \vee x > 2\} \end{eqnarray*}$

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