Lage von Gerade und Ebende

Neue Frage »

IceTi Auf diesen Beitrag antworten »
Lage von Gerade und Ebende
Hi,

folgende Aufgabe habe ich da:

Sei c=0: Ermitteln Sie in abhängigkeit der reelen Zahlen für a die verschiedenen Lagen der Geraden g1 zur Ebene E1.







Nach dem man die g1 und E1 gleichgesetzt hat, kommt man auf folgendes Gleichungssystem:




Laut meiner Lösung (die ich nicht verstehe) soll nun für:

a ungleich -2 und 1 ungleich 3 => g1 durchläuft E1
a=3 => g1 liegt in E1
a=-2 => g1 paralell E1

Nun, warum ist das so?
Musti Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage von Gerade und Ebende
Schauen wir uns die Parallelität an.
Für Parallelität zwischen Ebene und Gerade gilt:
Das heißt der Normalenvektor der Ebene multipliziert mit dem Richtungsvektor der Geraden muss 0 ergeben.

Dazu berechnen wir zunächst den Normalenvektor der Ebene, mithilfe des Kreuzprodukts:



Nun benutzen wir die von mir am Anfang erwähnte Beziehung:



Für ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt auf der Ebene.
Um diesen Unterschied herauszufinden, kannst du eine Punktprobe machen und schauen ob der Stützvektor der Geraden auf der Ebene liegt.
 
 
IceTi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist mein Ergebnis falsch?!
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, du musst dir bewusst machen, was gelten muss damit die und die Bedingung ihre Gültigkeit erhält.
IceTi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann frag ich mich was für einen unsinn der Prof. da an die Tafel geschrieben hat!
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab in meiner Rechnung einen Fehler gefunden.
Und zwar ist die -Komponente des Normalenvektors falsch.

Richtig ist:

Jetzt läuft alles wieder gleich:



Dann kannst du ein a erraten. Dieses ist wie dein Professor richtig gesagt hat

Sorry für diesen Fehler, aber der Weg und der Gedanke bleibt der gleiche.
IceTi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass hat schon einmal super geklappt. Doch wie prüfe ich nun ob die Gerade in der Ebene liegt bzw. ob diese die Ebene durchstößt bzw. halt wie bekomme ich die Werte für "a" dafür raus ?

Ich müsste ja nur noch gucken wann die Ebene durchkreuzt wird, wenn ich den Wert raus habe, dann sind alle anderen Zahlen außer die Werte für paralell und kreuzen ja Ergebniss dafür, dass die Gerde in der Ebene liegt oder?

Am besten ohne Gausverfahren dies ist irgendwie ziemlich kniffelig bei dieser Aufgabe, geht das?
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu gucken für welches a, Ebene und Gerade sich in einem Punkt schneiden, würde ich die Ebene in Koordinatenform umwandeln und die Gerade in die Koordinatenform einsetzen und a so bestimmen dass sie sich genau in einem Punkt schneiden.
IceTi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ebene in Koordinatenform habe ich so:





Wie setze ich den die Gerade da jetzt ein? verwirrt
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt dein d, bei der Koordinatengleichung nicht kontrolliert, gehe aber von der Richtigkeit aus.

Also die x-Koordinate der Gerade lautet
Meinst du, du bekommst die y und die z Koordinate hin?
Wenn du das hast, musst du es für x, y und z in die Ebene einsetzen.
IceTi Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso:








So?
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt, bis auf die z Koordinate, denn es wurde ja vorausgesetzt dass c=0 ist, deswegen kannst du das c rauslassen.
IceTi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wenn ich das einsetze komme ich auf folgendes:









... irgendwie stört mich das "m" ... unglücklich das ist alles so kompliziert irgendwie...
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist echt zu kompliziert, wir nehmen einen anderen Weg. Sorry.

Da wir herausgefunden haben, dass für a=-2 eine Parallelität oder Identität zwischen Ebene und Gerade besteht, wissen wir dass für alle anderen a die Ebene und Gerade Schnittpunkte besitzt.
IceTi Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, aber laut Lösung liegt für a=3 die Gerade ja in der Ebene, nur wie komme ich auch die 3?
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich benutze Mal den von mir eben genannten langen Weg, indem ich die Gerade in die Ebene einsetze.




Nun setze ich die Gerade in die Ebene:









Das berechnete m müsstest du jetzt in die Geradengleichung einsetzen und du hättest deinen Schnittpunkt. Da sich durch das einsetzen in die Geradengleichung der Nenner nicht ändert, reicht es wenn du jetzt die Definitionsmenge dieses Bruchs bestimmst und schaust für welche a, m definiert ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »