Taylorreihe

27.06.2008, 12:47

Matze28HL

Taylorreihe

Moin Moin,

hier meine Frage : Ich soll die Taylorreihe der folgenden Funktion herleiten :

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{sinh(x)} \end{eqnarray*}$ (Entwicklungspunkt : 0 , Entwicklung bis zur 4. Potenz)

Mein Vorgehen : Ableitungen bilden, Wert Null einsetzen...und zack, hab ich das Problem der Nulldivision...wie geh ich da jetzt weiter ? L´Hospital anwenden ?
Oder soll ich erst die Reihe vom Nenner bilden und dann x durch die entstandene Reihe teilen ? Wie würdet Ihr vorgehen ? Über rasche Antworten freue ich mich...

Gruß Matze

27.06.2008, 12:51

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Beides sind gangbare Wege. Wegen des Aufwandes mit L'Hospital, sowie angesichts der Bekanntheit der sinh-Reihe, würde ich mich für den zweiten Weg entscheiden.

27.06.2008, 13:17

Matze28HL

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RE: Taylorreihe
So, denn hab ich da stehen...

$\begin{eqnarray*} x \sum_{k=0}^\infty~ \frac{(2k+1)!}{x^{2k+1}} \end{eqnarray*}$

Noch das x rauskürzen und denn fertig ... oder ?

27.06.2008, 13:46

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Wenn du denkst, dass es eine Rechenregel

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n} \stackrel{?}{=} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$

gibt, dann muss ich dich enttäuschen: Das ist i.a. grottenfalsch! geschockt

Die richtige Berechnung der Quotientenreihe läuft über Koeffizientenvergleich beim Cauchyprodukt (im Wikibeitrag die letzten Zeilen vor dem Zahlenbeispiel).

27.06.2008, 18:27

Matze28HL

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Taylorreihe
Also, ich schreibs jetzt noch mal so hin, wie ich es hier vor mir liegen habe...

Potenzreihe von sinh(x) lautet : $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~ \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{x}{sinh(x)} = \frac{x}{\sum_{k=0}^\infty ~ \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}} \end{eqnarray*}$

...seh ich das richtig, dass man im Nenner ein "x" vor das Sigma ziehen kann . Das ist ja unabhängig vom "n" ... und dann "x" wegkürzen...

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{\sum_{k=0}^\infty ~ \frac{x^{2k}}{(2k+1)!}} \end{eqnarray*}$

Und nu ? Wie kann ich den Bruch auflösen ?

27.06.2008, 18:47

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Zitat:

Original von Matze28HL
...seh ich das richtig, dass man im Nenner ein "x" vor das Sigma ziehen kann . Das ist ja unabhängig vom "n" ... und dann "x" wegkürzen...

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{\sum_{k=0}^\infty ~ \frac{x^{2k}}{(2k+1)!}} \end{eqnarray*}$

Ja, das ist richtig.

Zitat:

Original von Matze28HL
Und nu ? Wie kann ich den Bruch auflösen ?

Immer diese Wiederholungen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Die richtige Berechnung der Quotientenreihe läuft über Koeffizientenvergleich beim Cauchyprodukt (im Wikibeitrag die letzten Zeilen vor dem Zahlenbeispiel).

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