Rubik's Würfel

31.03.2006, 16:35

f(x)

Rubik's Würfel

Hallo!

Weiß jemand, wieviele Kombinationsmöglichkeiten es vom Rubikwürfel gibt?

Ich habe schon drei verschiedene Lösungen gefunden.
- ca. 519 Trillionen ( $\begin{eqnarray*} 3^8 * 8! * 2^{12} * 12! \end{eqnarray*}$ )
- ca. 65 Trillionen ( $\begin{eqnarray*} 3^8 * 8! * 2^{12} * 12! /8 \end{eqnarray*}$ )
- ca. 43 Trillionen ( $\begin{eqnarray*} 3^8 * 8! * 2^12 * 12! /12 \end{eqnarray*}$ )

Lösungsidee für alle drei Lösungen:
Es gibt 8 Ecken, die beliebig untereinander vertauscht werden können.
(Deswegen $\begin{eqnarray*} 8! \end{eqnarray*}$ )
Jede Ecke kann innerhalb einer Position 3 Anordnungen haben.
(Deswegen $\begin{eqnarray*} 3^8 \end{eqnarray*}$ )
Unabhängig davon gibt es noch 12 bewegliche Kanten, die auch untereinander beliebig vertauscht werden können.
(Deswegen $\begin{eqnarray*} 12! \end{eqnarray*}$ )
Jede Kante kann innerhalb einer Position 2 Anordnungen haben.
(Deswegen $\begin{eqnarray*} 2^{12} \end{eqnarray*}$ )

Bei der zweiten und dritten Lösung wird noch berücksichtigt, dass der komplette Würfel auch gedreht werden kann, sodass beispielsweise die Ecke vorne unten links nach vorne unten rechts wandert.
Dabei ändert sich jede Position, aber es ist die gleiche Kombination.
Nur 2.Lösung: Da es 8 Ecken gibt, muss noch durch 8 geteilt werden.
Nur 3.Lösung: Da es 12 Kanten gibt, muss noch durch 12 geteilt werden.

Am "richtigsten" scheint mir Lösung 3.
Die habe ich auch am öftesten im Internet gefunden.
Aber stimmt die auch?

31.03.2006, 16:59

Dual Space

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RE: Rubik's Würfel
Suche mal im Board ... das hatten wir jetzt schon recht häufig!

Edit: Offenbar doch nicht! Sorry!

31.03.2006, 17:00

kurellajunior

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Da Du die 8 festen Mittelpunkte hast, hast Du eine eindeutige Ausgangssituation. Du musst also durch die Anzahl der verschiedenen Drehungen dieses Würfels dividieren: jede Seite nach vorn (6) kann 4mal gedreht werden.

Macht 24 verschiedene Stellungen des Grundgerüstes, für die je eine der Anordnungen gefunden werden kann, um sie ineineander zu überführen. Also "/24"

Edit: Uups, wust i net Augenzwinkern

Edit: Aha, bin also mit Blindheit geschlagen... Nunja man lernt nie aus...

31.03.2006, 17:01

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Die dritte Lösung ist richtig, und bei der werden durch Drehungen des Gesamtwürfels entstehende Varianten bereits nicht mehrfach gezählt!

Und der Grund für die Division liegt nicht an der Kantenzahl 12, sondern das ist etwas komplizierter: Es liegt daran, dass nicht jede der $\begin{eqnarray*} 3^8 \cdot 8! \cdot 2^{12} \cdot 12! \end{eqnarray*}$ Varianten, die man durch Auseinander- und Zusammenbau sich erstellen kann, auch durch "erlaubte" Drehungen der Würfelscheiben erreicht werden kann, sondern nur jede 12te solche Variante! Probier es selber aus, bau den Würfel auseinander und setze ihn willkürlich wieder zusammen und dann ordne ihn. Nur in ca. 1/12 aller Fälle wird dir das gelingen. Augenzwinkern

31.03.2006, 17:41

f(x)

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Kann man also sagen, dass es theoretisch 519 Trillionen Zustände gibt, sich aber nur ein Zwölftel davon erzeugen lassen, wenn der Würfel nicht auseinandergebaut werden darf?

31.03.2006, 17:46

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Ja, gut zusammengefasst.

31.03.2006, 17:49

f(x)

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Okay, danke !!

31.03.2006, 19:17

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Es liegt daran, dass nicht jede der $\begin{eqnarray*} 3^8 \cdot 8! \cdot 2^{12} \cdot 12! \end{eqnarray*}$ Varianten, die man durch Auseinander- und Zusammenbau sich erstellen kann, auch durch "erlaubte" Drehungen der Würfelscheiben erreicht werden kann, sondern nur jede 12te solche Variante! Probier es selber aus, bau den Würfel auseinander und setze ihn willkürlich wieder zusammen und dann ordne ihn. Nur in ca. 1/12 aller Fälle wird dir das gelingen. Augenzwinkern

Kann man auch elementar erklären, warum genau jede 12-te Variante durch erlaubte Drehungen erreicht werden kann?

31.03.2006, 20:07

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Tja, was ist elementar...

Ein Basiszug ist ja eine Vierteldrehung einer Seitenscheibe. Jede erreichbare Stellung ist dadurch charakterisiert, dass sie durch eine Folge solcher Basiszüge erreichbar ist. Nun ist jeder solcher Basiszug eine ungerade Permutation sowohl der Kanten als auch eine ungerade Permutation der Ecken (beides sind Zyklen der Ordnung 4). Also kann jede Stellung nur folgende Eigenschaft haben:

Permutation der 12 Kanten ist ungerade und Permutation der 8 Ecken ist ungerade

oder

Permutation der 12 Kanten ist gerade und Permutation der 8 Ecken ist gerade

"Gemischte" Permutationen sind also nicht erreichbar, macht schon mal Reduktionsfaktor 2.

Und dann gibt es noch Reduktionsfaktor 2 für die Kantenorintierung (also Rot-Blau oder Blau-Rot usw.) sowie Reduktionsfaktor 3 für die Eckenorintierung. Kann man sich ebenfalls mit den Basiszügen sowie geschickter Färbung einiger der 6*3²=54 Außenteilflächen klar machen.

EDIT: verschrieben, Ecken statt Kanten - korrigiert.

31.03.2006, 20:31

f(x)

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Das ist ja sehr praktisch für Wetten:

Man gibt irgendeinem Bastler einen "falsch zusammengebauten Würfel"
und wettet mit ihm, dass er es nicht schafft, ihn wieder zusammenzubauen, ohne ihn in seine Einzelteile zu zerlegen.
Hehehe...

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