Kugeln, Schnittebenen und so…

Neue Frage »

31.03.2006, 17:24

Niko

Auf diesen Beitrag antworten »

Kugeln, Schnittebenen und so…

Hi Leute!

Ich hätt da mal ne Frage…

…und hoffe ihr könnt mir helfen. Hilfe

# # #

Ich habe 4 Kugeln in einem xyz-Koordinatensystem:
Mir bekannt sind: Lehrer

• Koordinaten des Mittelpunkts von jeder der vier Kugeln
• Radien (können von Kugel zu Kugel variieren)

Zusätzlich weiß ich, dass es einen Punkt gibt, der auf den Oberflächen aller vier Kugeln liegt.
(Dem entsprechend müssen sich die Kugeln überschneiden - aber macht nix, sind ja eh nur imaginär!)

Was ich nun suche ist genau dieser eine beschriebene Punkt!

Ich kann leider keine absoluten Zahlen zum rechnen angeben, da sich die Werte von Fall zu Fall unterscheiden.

Aber wenigstens ein Bild habe ich finden können, das die Situation ganz gut darstellt, wie ich finde:

http://home.vrweb.de/~benji/Image18.gif

Bidde, bidde helft mir! Gott

Niko

31.03.2006, 17:36

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die vier Kugelgleichungen:

$\begin{eqnarray*} (1)\qquad (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2 &=& r_1^2\\ (2)\qquad (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2 &=& r_2^2\\ (3)\qquad (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2 + (z-z_3)^2 &=& r_3^2\\ (4)\qquad (x-x_4)^2 + (y-y_4)^2 + (z-z_4)^2 &=& r_4^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt bildest du die Differenzen (1)-(4), (2)-(4) und (3)-(4) und erhältst drei Ebenengleichungen, zugehörig zu den Schnittkreisen der Schnitte von Kugeln 14, 24 sowie 34. Bei allgemeiner Lage der drei Ebenen haben diese genau einen Schnittpunkt, und das ist dein gesuchter Punkt, einfach die Lösung eines 3x3-LGS.

Zur Überprüfung, ob deine vier Kugeln auch wirklich diese Lage besitzen, solltest du zur Probe den gefundenen Punkt in eine der vier Kugelgleichungen einsetzen und sehen, ob er auf dieser einen Kugel auch tatsächlich liegt. Ansonsten stimmt deine Annahme eines gemeinsamen Punktes auf allen vier Kugeln nämlich nicht.

31.03.2006, 18:01

Niko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Du hast die vier Kugelgleichungen:

$\begin{eqnarray*} (1)\qquad (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2 &=& r_1^2\\ (2)\qquad (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2 &=& r_2^2\\ (3)\qquad (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2 + (z-z_3)^2 &=& r_3^2\\ (4)\qquad (x-x_4)^2 + (y-y_4)^2 + (z-z_4)^2 &=& r_4^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt bildest du die Differenzen (1)-(4), (2)-(4) und (3)-(4) und erhältst drei Ebenengleichungen, zugehörig zu den Schnittkreisen der Schnitte von Kugeln 14, 24 sowie 34. Bei allgemeiner Lage der drei Ebenen haben diese genau einen Schnittpunkt, und das ist dein gesuchter Punkt, einfach die Lösung eines 3x3-LGS.

Das war fix! Herzlichen Dank! Freude

Aber könntest du mir vielleicht ein Beispiel für die resultierende Ebenengleichung von (1)-(4), (2)-(4) oder (3)-(4) geben?
Ich bin mit Vektoren leider nicht allzu geübt. unglücklich

31.03.2006, 18:41

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du unbedingt ein Beispiel brauchst:

1.Kugel mit Mittelpunkt (1,-2,4) und Radius 5
2.Kugel mit Mittelpunkt (3,5,-1) ubd Radius 7

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-4)^2 &=& 5^2\\ (x-3)^2 + (y-5)^2 + (z+1)^2 &=& 7^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Differenz beider Gleichungen (jeweils linke und rechte Seiten:

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1-(x^2-6x+9)+y^2+4y+4-(y^2-10y+25)+z^2-8z+16-(z^2+2z+1) &=& 25-49\\ 4x+14y-10z &=& -10 \end{eqnarray*}$

Was du hier siehst, das Wegfallen der Quadrate, passiert im allgemeinen Fall auch. Was übrig bleibt, ist eine Ebenengleichung im Raum. Und drei solche dann linearen Gleichungen ergeben das 3x3-System, dessen Lösung gerade der Schnittpunkt dieser drei Ebenen ist.

31.03.2006, 19:20

Niko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn du unbedingt ein Beispiel brauchst...

Unbedingt! Big Laugh

Tausend Dank! Prost

Neue Frage »

Antworten »

Kugeln, Schnittebenen und so…

Verwandte Themen