Zentraler Grenzverteilungssatz

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FeLiXe Auf diesen Beitrag antworten »
Zentraler Grenzverteilungssatz
Hallo, ich hätte eine Frage zum zentralen Grenzverteilungssatz. Ich verstehe nicht, wie er funktionieren kann.

Zuerst nehme ich identisch verteilte unabhängige Zufallsvariable. Dafür nehme ich die Größen von Leuten. In meinem Beispiel seien alle entweder 1m oder 2m groß wobei die Wahrscheinlichkeit jeweils 50% ist. Die Leute ordne ich in Gruppen zu je tausend an und bestimme deren mittlere Größe.

Laut zentralem Grenzverteilungssatz müssten diese Mittel normalverteilt sein (nach N(1,5m; 0,25m^2) ). Wenn ich die Gruppengröße noch erhöhe nähert sich die Verteilung der Mittel immer mehr der Normalverteilung. Bei einer Normalverteilung hätten aber auch Größen <1m und >2m eine Wahrscheinlichkeit ungleich 0. In meiner Welt werden die aber sicher nicht erreicht. Wie kann ich dann sagen, dass die Verteilung der Mittel bei immer größerer Menschenzahl gegen eine Normalverteilung strebt?

danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wer sagt denn, dass der Erwartungswert / Mittelwert im Wertebereich der Zufallsgröße liegen muss? Das muss er nicht, Beispiel:

Der Erwartungswert der Würfelaugenzahl ist gleich 3.5, der Wertebereich der Zufallsgröße Augenzahl aber { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } . Keine Spur davon zu sehen, dass man auch eine 3.5 würfeln können muss. Teufel

(Das Beispiel bringe ich heute nun schon zum zweiten Mal. Augenzwinkern )
FeLiXe Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort, aber ich versuch nochmal zu erklären wo mein Problem liegt:

Mich interessiert zB die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 1000 Leuten (wieder verteilt nach D{1m, 2m}) der Schnitt (echt) kleiner 1m ist.

Diese berechne ich mir mit der Normalverteilung. Mich interessiert alles links von einer Standardabweichung, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 0,1587.

Es gilt aber sicherlich, dass für einen Schnitt kleiner 1m mindestens eine Person auch tatsächlich kleiner als 1m sein muss. In meiner Verteilung ist aber die Wahrscheinlichkeit, eine Person <1m zu finden gleich 0. Damit ist es auch unmöglich einen Schnitt <1m zu haben.

Wie kann man diesen Unterschied erklären?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FeLiXe
In meiner Verteilung ist aber die Wahrscheinlichkeit, eine Person <1m zu finden gleich 0. Damit ist es auch unmöglich einen Schnitt <1m zu haben.

Das ist zweifelsohne richtig.

Zitat:
Original von FeLiXe
Wie kann man diesen Unterschied erklären?

Damit, dass der ZGWS für endliche n nur eine approximative Wahrscheinlichkeit liefert! Nicht mehr und nicht weniger. Wenn du Informationen über die Genauigkeit dieser Approximation für endliche n haben willst, musst du noch andere Aussagen heranziehen, z.B. die Ungleichung von Berry-Esséen. Und die wird dir im vorliegenden Fall die Aussage liefern, dass 0 durchaus noch in dem Toleranzintervall rund um die approximierende Normalverteilung liegt.

EDIT:

Zitat:
Original von FeLiXe
Laut zentralem Grenzverteilungssatz müssten diese Mittel normalverteilt sein (nach N(1,5m; 0,25m^2) ).

Das ist übrigens falsch, dass gilt nur für eine Person. Für das Mittel der Körpergröße von solchen Personen gilt ,
natürlich wieder nur approximativ.
FeLiXe Auf diesen Beitrag antworten »

hab vorher nicht daran gedacht, dass ich die Standardabweichung des Mittelwertes betrachte und diese sich ändert. jetzt versteh ich wie es konvergiert: weil eben durch n dividiert wird.

hey cool, es macht doch Sinn ;-)

danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Zum Vergleich mal die Verteilungsfunktionen des Mittelwerts für n=1



und n=100:

 
 
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