Doppelintegral

27.06.2008, 17:12	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral hallo ich habe folgende problemstellung: Lösen Sie $\begin{eqnarray} \int \int_{B}~(yx^2+2y^3x)~dxdy \end{eqnarray}$ für den Bereich B, der durch die Kurven $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{x}, y=\frac{1}{4x}, x=y^2, x=y^2+4 \end{eqnarray}$ bergrenzt ist. (Hinweis: Wenden Sie eine Variablensubstitution der Form $\begin{eqnarray} u=...,v=x-y^2 \end{eqnarray}$ an) Ich hab nur leider keine Ahnung wie ich das anstellen sollte. ich habe die vier schnittpunkte berechnet, die bei diesen vier kurven entstehen, aber die helfen mir in diesem fall auch nicht viel weiter. hat vielleicht jemand eine ahnung und kann mir bei diesem problem behilflich sein? lg u.
27.06.2008, 17:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelintegral Der Hinweis ist so gemeint, dass die Variablensubstitution so erfolgen sollte, dass der "krummlinige" Integrationsbereich bzgl. $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ) nach der Transformation in einen Rechteckbereich bzgl. $\begin{eqnarray} (u,v) \end{eqnarray}$ mündet. Wie du $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ derart wählen kannst, ist schon vorgegeben: $\begin{eqnarray} x=y^2 \end{eqnarray}$ bedeutet $\begin{eqnarray} x-y^2=0 \end{eqnarray}$ , und damit $\begin{eqnarray} v=0 \end{eqnarray}$ , ebenso bedeutet $\begin{eqnarray} x=y^2+4 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} v=4 \end{eqnarray}$ . Die Wahl von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ sollte auch einigermaßen naheliegend sein, wenn man sich die anderen beiden Kurven so ansieht... Hast du das erledigt, führe eine ganz normale Integraltransformation durch: $\begin{eqnarray} \iint\limits_B ~ f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x = \iint\limits_{B'} f(x(u,v),y(u,v) \cdot \left\| \det\left( \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right) \right\| ~ \dd v ~ \dd u \end{eqnarray}$ mit Jacobimatrix $\begin{eqnarray} \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \end{eqnarray}$ und transformierten Integrationsbereich (nunmehr Rechteck!) $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ . EDIT: Ähem, ich sehe gerade - bei der Substitution ist es vielleicht besser, die Integraltransformation aus der anderen Richtung zu betrachten: $\begin{eqnarray} \iint\limits_B ~ g(u(x,y),v(x,y)) \cdot \left\| \det\left( \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right) \right\| ~ \dd y ~ \dd x = \iint\limits_{B'} g(u,v) ~ \dd v ~ \dd u \end{eqnarray}$ mit einer passend gewählten Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ - wie die aussieht, wird klar, wenn man die Jacobideterminante $\begin{eqnarray} \det\left( \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right) \end{eqnarray}$ ausgerechnet hat.
27.06.2008, 20:51	dipo01	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, habs hinbekommen!

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