Ungleichungen und Betrag

31.03.2006, 19:20

HobbyStudent

Ungleichungen und Betrag

Hallo,
Hab mal wieder ein Problem, hoffe, ihr könnt mir einen Ansatz geben.
Folgende Aufgabenstellung:
Geben Sie (mit Begründung) die Menge aller $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Vereinigung von möglichst wenigen Intervallen an:

$\begin{eqnarray*} \mid 2x-3 \mid + \mid 1-7x \mid \leq 5 \end{eqnarray*}$

Habe zunächst die Ungleichung mit sich selbst multipliziert:

$\begin{eqnarray*} (2x-3)^{2} + 2\mid 2x-3 \mid \mid 1-7x \mid + (1-7x)^{2} \leq 25 \end{eqnarray*}$
<=>...
<=> $\begin{eqnarray*} 53x^{2}-26x+10+\mid 28x^{2}-46x+6\mid \leq 25 \end{eqnarray*}$

Wie entledige ich mich denn jetzt dem "übrigen" Betrag?? Oder gibt's da ne einfachere Möglichkeit, das Ganze zu lösen?? Steh grad irgendwie auf dem Schlauch....

Gruß

Jens

31.03.2006, 19:35

therisen

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Hallo,

zur Not bleibt einem immer noch die Fallunterscheidung. Wann wird der Betrag des Argumentes positiv, wann negativ, und dann eben auflösen gemäß der Definition des Betrages.

Gruß, therisen

31.03.2006, 19:36

JochenX

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wie wäre es denn mit Fallunterscheidung?
Die würde ich aber von Anfang an machen.....

2x-3, 1-7x

wann sind beide >0, wann beide <0, wann eins so eins so usf.

31.03.2006, 19:37

Leopold

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Gelegentlich kann der Trick mit dem Quadrieren bei Beträgen helfen. Hier wird aber nur alles komplizierter. (Insbesondere muß man sehr darauf achten, daß man keine Terme, die negativ werden können, quadriert, da dann die Relationszeichen nicht mehr stimmen. Und wer denkt da schon immer an alles!)

Du wirst wohl um Fallunterscheidungen nicht herumkommen. Beträge linearer Terme wechseln ja genau bei den Nullstellen der Terme ihr betragsfreies Aussehen. Zum Beispiel der erste Betrag:

$\begin{eqnarray*} \left| 2x - 3 \right| = \begin{cases} -2x + 3 & \mbox{für} \ x < \frac{3}{2} \\ 2x - 3 & \mbox{für} \ x \geq \frac{3}{2} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und beim zweiten Betrag ist die kritische Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$ . Untersuche daher die Ungleichung getrennt in den Intervallen

$\begin{eqnarray*} I_1 = \left(-\infty, \frac{1}{7} \right] \, , \ \ I_2 = \left( \frac{1}{7} , \frac{3}{2} \right] \, , \ \ I_3 = \left( \frac{3}{2} , \infty \right) \end{eqnarray*}$

In jedem der Intervalle kannst du die Ungleichung völlig betragsfrei schreiben. Löse die entsprechende Ungleichung über dem betreffenden Intervall. Mit anderen Worten: Schneide die $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ . Entsprechend für die anderen Intervalle. Die gesuchte Lösungsmenge der Ungleichung ist dann:

$\begin{eqnarray*} L = \left( L_1 \cap I_1 \right) \cup \left( L_2 \cap I_2 \right) \cup \left( L_3 \cap I_3 \right) \end{eqnarray*}$

02.04.2006, 00:40

HobbyStudent

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Gesagt, getan, gelöst.... Herzlichen Dank auch Freude

Nur eines verstehe ich nicht ganz:

Zitat:

Original von Leopold
Insbesondere muß man sehr darauf achten, daß man keine Terme, die negativ werden können, quadriert, da dann die Relationszeichen nicht mehr stimmen. Und wer denkt da schon immer an alles!

Wie kann denn ein Betrag (bzw. die Summe zweier Beträge) negativ werden?!

02.04.2006, 08:37

Leopold

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Zitat:

Original von HobbyStudent
Wie kann denn ein Betrag (bzw. die Summe zweier Beträge) negativ werden?!

Das war ja auch nicht falsch, was du gerechnet hast, nur eben nicht zielführend. Ich wollte mich ganz allgemein gegen ein gedankenloses Quadrieren wenden. Offenbar bist du aber gegen diese Art von Fehlern gefeit, wie deine zutreffenden Äußerungen hierzu zeigen.

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