4xWürfeln

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aRo Auf diesen Beitrag antworten »
4xWürfeln
Hallo!

Es sind zwei Würfel gegeben:

w1 hat folgende Wkeit Verteilung:

1->1/3
2->1/6
3->1/2

W2:

1->1/2
2->1/6
3->1/3

Nun folgende Aufgabe:
Die Zufallsvariable Y beschreibe die Augensumme beim gleichzeitigen Wurf mit zwei W1 und zwei w2 würfeln. Ermittle die Wkeit Verteilung von Y.

Muss ich mir jetzt echt alle Kombinationsmöglichkeiten? Da wird man ja bekloppt bei. Also bei 4 geht ja noch muss man ja würfeln: 1111
aber schon bei sieben wirds ja ellen lang: 1222;2122;1231;1213;2212;2221;3112;3121; ...

oder gibts da einen Trick?
bil Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 4xWüfeln
hi...
erstmal willkommen im team...

Zitat:
Original von aRo
oder gibts da einen Trick?


also ich kenne leider jetzt auf die schnelle auch keine geschickte möglichkeit. wenn du glück hast, hat arthur noch was in seiner trickkisteAugenzwinkern

gruss bil
 
 
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hi und danke! smile

arthurs trickkiste wär schon was feines Augenzwinkern

Weil ich glaub so kriege ich das nicht hin, vergesse bestimmt immer irgendwo ne Möglichkeit. Außerdem ist das doch irgendwie sinnfrei die Schüler 20 Kombinationen aufmalen zu lassen..^^

aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was besseres fällt mir nicht ein, höchstens wie man das effizient aufschreiben kann: Zunächst die Produktwahrscheinlichkeiten als 3x3-Matrix. Damit alles schön ganze Zahlen sind, am besten mit 36 erweitert: Augenzwinkern

code:
1:
2:
3:
4:
5:
   |  1  2  3
---+---------
 1 |  6  2  4
 2 |  3  1  2
 3 |  9  3  6


Und zur Berechnung von summiert man jetzt über die passenden Diagonalen, von unten links nach oben rechts.

code:
1:
2:
3:
   |  2  3  4  5  6
---+---------------
   |  6  5 14  5  6


Abschließend den Vorfaktor nicht vergessen...


EDIT: Sorry, verlesen, das war nur ein W1 und ein W2-Würfel. Aber die letzte Verteilung mit demselben Trick noch mal mit sich selbst gefaltet (also das ganze nochmal), dann bist du durch. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wohl eine Fleißaufgabe. Zum Beispiel die Augensumme 6: Sie ist realisierbar durch die Summen 2+2+1+1 (Typ I) und 3+1+1+1 (Typ II).

Zunächst der Typ I:
i) die 2en stammen vom ersten Würfeltyp: 1 Möglichkeit mit Wahrscheinlichkeit 1/144
ii) die 2en stammen vom zweiten Würfeltyp: 1 Möglichkeit mit Wahrscheinlichkeit 1/324
iii) die 2en stammen von beiden Würfeltypen: 4 Möglichkeiten mit Wahrscheinlichkeit 1/216
Das macht zusammen 37/1296 Wahrscheinlichkeit.

Dann der Typ II:
i) die 3 stammt vom ersten Würfeltyp: 2 Möglichkeiten mit Wahrscheinlichkeit 1/24
ii) die 3 stammt vom zweiten Würfeltyp: 2 Möglichkeiten mit Wahrscheinlichkeit 1/54
Das macht zusammen 13/108 Wahrscheinlichkeit.

Für die Augensumme 6 gibt das eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 193/1296.

Wenn die Augensumme bezeichnet, so gilt ja . (Man ordne dem Ausgang den Ausgang zu. Dadurch ist eine Bijektion auf dem Ergebnisraum gegeben, die die Augensumme in überführt mit (EDIT: Fehler). Denn glücklicherweise sind die Wahrscheinlichkeiten für die Augenzahlen 1 und 3 bei beiden Würfeln ja gerade vertauscht, während die Augenzahl 2 dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt.)







Wie vorgeführt muß man jetzt noch drei Wahrscheinlichkeiten berechnen. ergibt sich dann durch Subtraktion der anderen Wahrscheinlichkeiten von 1.

EDIT
ist wohl nicht in jedem Fall richtig. Dennoch müßte es auf das ganze Ereignis verteilt, wieder aufgehen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da schreibt man sich ja einen Wolf, wenn man auf diese Weise die gesamte Verteilung von berechnen will... Meinen Beitrag von oben fortgesetzt um einen weiteren W1-Würfel und einen weitern W2-Würfel ergibt sich eine analoge Produktwahrscheinlichkeitstabelle für
,
da ja und identisch verteilt sind:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
   |   2   3   4   5   6
---+--------------------
 2 |  36  30  84  30  36
 3 |  30  25  70  25  30
 4 |  84  70 196  70  84
 5 |  30  25  70  25  30
 6 |  36  30  84  30  36


Macht dann mit in der Tabelle rausgezogenen Vorfaktor und Summation über die Diagonalen:

code:
1:
2:
3:
        n   |   4   5   6   7   8   9  10  11  12
------------+------------------------------------
1296*P(Y=n) |  36  60 193 200 318 200 193  60  36
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hi!

arthur kannst du mir bitte nochmal genau erklären wie du an deine schöne matix kommst? zum beispiel am Beispiel 23 oder so
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach das Produkt der Wahrscheinlichkeiten! In meinem vorletzten Beitrag stand da so eine Tabelle:
code:
1:
2:
3:
        n       |  2  3  4  5  6
----------------+---------------
36*P(X_1+X_2=n) |  6  5 14  5  6

Mit "23" meinst du jetzt vielleicht



Also ist die letzte abgebildete Matrix einfach das Matrixprodukt .
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, du packst einen W1 und einen W2 Würfel immer zusammen, oder?

du würfelst praktisch nicht zu erst mit beiden W1 und dann beiden W2 in deiner Tabelle. Sondern immer von jedem eines.

Zum Beispiel bei 4-2:

(1/6 * 1/6 + 1/3 * 1/3 + 1/2 * 1/2 ) * 1/3 * 1/2 = 7/108 , oder?

und dann, wenn du die Wahrscheinlichkeiten für die Augensumme haben willst, suchst du dir einfach aus der Tabelle die Paare raus, die für die 6 zum Beispiel gehen würden: 33 42 24 macht: 25 + 84 + 84
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, so läuft's. Und ob man nun W1+W1+W2+W2 rechnet, oder wie ich (W1+W2)+(W1+W2) ist ja nun egal, bekanntlich ist die Addition kommutativ und assoziativ. Augenzwinkern
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ja gut Augenzwinkern bin da nur bei der Tabelle durcheinander gekommen! Dann ist das aber klar, danke dir!
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