Integration

01.04.2006, 12:42

Gast0104

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Integration

Hallöchen!

Muss folgendes bestimmtes Integral berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0 }^{\pi}~sin²x~dx \end{eqnarray*}$

dies kann ich doch in:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~sin(x)*sin(x)~dx \end{eqnarray*}$
aufspalten?

Dachte die partielle Integration wäre hier gar nicht so schlecht anzuwenden?
komm dann auf:
$\begin{eqnarray*} sin (x)*sin(x)\int_{0}^{\pi}~sin(x)*cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Dann muss ich doch noch mal partiell integrieren? Wie soll ich da am besten u' und v anwenden oder v' und u?
Stimmt meine erste part. Integration überhaupt? Hab da einfach das erste sin(x) für u fest gelegt und das zweite sin(x) für v'.

THX! für eure HILFE!

01.04.2006, 12:51

mercany

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~\sin^2 x ~dx = \cos x \cdot \sin x + \int_{0}^{\pi}~\cos^2 x ~dx \end{eqnarray*}$

Nutze anschliessend $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray*}$

edit: Integral verbessert!

Gruß, mercany

01.04.2006, 13:14

Gast0104

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Sorry, komm bei einem nicht ganz klar.
hast du da für
sin(x)=u
cos(x)=v

angenommen?
Damit du auf cos² kommst?

Dankeschön!
LG

01.04.2006, 13:26

mercany

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Sorry, ich hab da nen Minus vergessen!

Es muss heißen: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~\sin^2 x ~dx &=& -\cos x \cdot \sin x - \int_{0}^{\pi}~-\cos x \cdot \cos x ~dx \\ &=& -\cos x \cdot \sin x + \int_{0}^{\pi}~\cos^2 x ~dx \end{eqnarray*}$

Das Minus im hinteren Integral wurde vor das Integral gezogen.

Gruß, mercany

01.04.2006, 13:40

Daktari

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Zitat:

Original von Gast0104
Sorry, komm bei einem nicht ganz klar.
hast du da für
sin(x)=u
cos(x)=v

angenommen?
Damit du auf cos² kommst?

Dankeschön!
LG

Jepp, hat er wohl. Geht ja auch nciht anderst...
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin²x~dx=-cosx*sinx+\int cos²x~dx \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} cos²x=1-sin²x \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} \int sin²x~dx=-cosx*sinx+\int (1-sin²x)~dx=cosx*sinx+\int 1~dx - \int sin²x~dx \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} \int sin²x~dx=cosx*sinx+\int 1~dx - \int sin²x~dx \end{eqnarray*}$

Schau mal ob auf der linken und rehten Seite des Gleichheitszeichens ein "gleiches" Integral steht und mach mal selbst weiter

01.04.2006, 13:42

Gast0104

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Danke,
und dann setzt ich statt cos²(x) einfach 1-sin²(x) ein, oder?
Aber wenn ich das Integrall dann aufspallte in:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~1~dx \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~sin²(x)~dx \end{eqnarray*}$

dreh ich mich doch im Kreis?? Oder wie sollte ich es sonst machen?

LG!

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01.04.2006, 13:48

riwe

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nein, den 2. term auf die linke seite stellen, dann hast du
2 I =.... fertig
werner

01.04.2006, 14:06

Gast0104

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Danke!

Meine Lösung für die Fläche lautet nun 0,5.
Stimmt dies?

LG

01.04.2006, 14:15

Gast0104

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Ups, ich hab mich verschrieben.

Meine Lösung lautet 1,5 (und nicht 0,5)
Ist das vielleicht richtig?

01.04.2006, 14:45

Abakus

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Am Besten stellst du deine Rechnung vor, dann lässt sich dazu etwas sagen. Als Ergebnis habe ich was anderes.

Grüße Abakus smile

smile

01.04.2006, 15:15

Gast0104

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mein rechenweg lautet folgend:

$\begin{eqnarray*} 2\int_{0}^{\pi}~sin²~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -cos(x)*sin(x)+\int_{0}^{\pi}~1~dx \end{eqnarray*}$

hab dann 1 nach dx integriert: ist doch x.
$\begin{eqnarray*} -cos(x)*sin(x)+x \end{eqnarray*}$
Und dann das ganze durch 2 dividiert (darf ich das)?
$\begin{eqnarray*} \frac{-cos(x)*sin(x)+x}{2} \end{eqnarray*}$

Oh, ich glaub ich weiß was ich falsch gemacht haben könnte (neben vielleicht dem dividieren druch 2 (obwohl es ist doch eine gleichung und wenn ich auf beiden Seiten das gleich mache, müsste es doch passen)?

Ich habe dann aber (das meine ich mit meinem Fehler) die Grenzen eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{-cos(x)*sin(x)+x}{2} \end{eqnarray*}$ = 1,5
0= $\begin{eqnarray*} \frac{-cos(x)*sin(x)+x}{2} \end{eqnarray*}$ =0

DANKE und LG!

01.04.2006, 16:08

Calvin

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Nur noch als Ergänzung ein alternativer Ansatz für das bestimmen einer Stammfunktion. Nutze die Additionstheoreme und schreibe $\begin{eqnarray*} \sin^2{x}=\frac{1}{2}\left(1-\cos{2x}\right) \end{eqnarray*}$ . Damit sparst du dir die partielle Integration.

01.04.2006, 16:39

mercany

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Zitat:

Original von Calvin
Nur noch als Ergänzung ein alternativer Ansatz für das bestimmen einer Stammfunktion. Nutze die Additionstheoreme und schreibe $\begin{eqnarray*} \sin^2{x}=\frac{1}{2}\left(1-\cos{2x}\right) \end{eqnarray*}$ . Damit sparst du dir die partielle Integration.

Hihi, das habe ich schon aufgegeben mit den Additionstheoremen.
Wird irgendwie sowieso immer überlesen/ignoriert oder wer weiß was mit gemacht. smile

smile

01.04.2006, 17:37

Gast0104

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Werde wahrscheinlich aber nicht das Additiontheorem anwenden dürfen. Außer ich weiß es auswendig, weil ich auf der Tafel nicht in der Formelsammlung nach schauen darf.

Habe trotzdem mal damit gerechnet (is auch viel einfacher). Hab aber keine Ahnung ob meine Rechnung jetzt stimmt.:

wenn: $\begin{eqnarray*} sin²x=\frac{1}{2}*(1-cos2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\pi}~sin²~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{\pi}^{1}~1~dx\int_{\pi}^{1}~cos2x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*x\int_{\pi}^{1}~2x~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*x*sin2x \end{eqnarray*}$

(Was mich ärgert ist, dass ich was anderes raus bekomme als bei der part. Integration) traurig

traurig

LG

01.04.2006, 17:54

mercany

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Zitat:

Original von Gast0104

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\pi}~sin²~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{\pi}^{1}~1~dx\int_{\pi}^{1}~cos2x~dx \end{eqnarray*}$

Hast du da nicht was vergessen?
Das ist kein Produkt! Wo ist das Minus hin verschwunden?!

Gruß, mercany

01.04.2006, 19:56

Gast0104

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Ups, ja hab das minus vergessen.

Mein Problem ist nur das ich bei der Anwendug mit dem Additionstheorem folgende Lösung nun raus bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}sin(2x) \end{eqnarray*}$

Und vorher bekamm ich folgendes raus (mit part. integration):
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}sin(2x) \end{eqnarray*}$

Sind beide falsch?
LG!

01.04.2006, 20:41

Calvin

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Die Lösung in deinem letzten Posting ist falsch. Beim sinus fehlt nochmal der Faktor 1/2. Es gibt zwei Möglichkeiten, wo du den vergessen hast. Entweder hast du beim integrieren von cos(2x) die innere Funktion vergessen oder du hast vergessen, den Faktor 1/2 vor dem Integral auf beide Intrale anzuwenden.

$\begin{eqnarray*} \int~\sin^2{x}\,dx=\frac{1}{2}\int~(1-\cos{2x})\,dx=\frac{1}{2}\int~1\,dx-\frac{1}{2}\int~\cos{2x}\,dx= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin{2x}+c = \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin{x}\cos{x}+c \end{eqnarray*}$ .

02.04.2006, 12:16

Gast0104

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Wink

Danke, hab wohl vergesssen:

Zitat:

oder du hast vergessen, den Faktor 1/2 vor dem Integral auf beide Intrale anzuwenden.

Hab da mal eine dumme Frage:
wie kommst du auf den cos(x) bei:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x- \frac{1}{2}sin(x)cos(x)+C \end{eqnarray*}$
LG!

02.04.2006, 12:22

Gast0104

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Ups!
Ich glaub ich bin gerade selber draf gekommen: da ja:
$\begin{eqnarray*} sin(2x)=2sin(x)cos(x) \end{eqnarray*}$

ist oder?
und $\begin{eqnarray*} 2*\frac{1}{2}x- \frac{1}{2}sin(x)cos(x)+C =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Richtig?

02.04.2006, 12:23

Calvin

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Ja, daher kommt das. Ist auch ein Additionstheorem. Aber wie kommst du auf die letzte Zeile verwirrt

verwirrt

02.04.2006, 12:31

Gast0104

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Werd mir mal beim posten länger Zeit lassen. Habe da was vermischt, also wollte eigentlich was anderes schreiben.
Meinte nur, dass sich das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aus:
$\begin{eqnarray*} 2*\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ zusammen setzt?

und die Lösung ist dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}sin(x)cos(x)+C \end{eqnarray*}$

und bei der partiellen integration bekomme ich dann auch folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{-cos(x)sin(x)+x}{2} +C \end{eqnarray*}$

Es ist doch egal ob das minus bei der Multiplikation bei cos(x) oder sind(x) steht?

THX! Mit Zunge

Mit Zunge

02.04.2006, 12:35

mercany

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Zitat:

Original von Gast0104
Es ist doch egal ob das minus bei der Multiplikation bei cos(x) oder sind(x) steht?

Korrekt!
Nur ist es manchmal leichter um zu erkennen, was gemacht wurde - besonders, wenn man noch nicht so geübt ist.

Gruß, mercany

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