logarithmusgleichungen beweisen

01.04.2006, 20:36

lacrima

logarithmusgleichungen beweisen

hallo
ich brauche hilfe beim beweisen folgenden gleichungen

1.) log ( a * b ) = log a + log b
2.) log ( a^b ) = b * log a
3.) log ( a / b ) = log a - log b

also bei 1.) weiß ich, dass die gleichung stimmt.
bei 2.) und 3.) habe ich nur die linke seite bekommen und habe in einem mathebuch gefunden,wie man die rechte seite von den gleichungen ergänzen kann.
ich denke, dass man es mit den potenzregeln erklären kann, nur leider kann ich sie nicht herleiten, bzw nicht hierauf anwenden.
hoffe, ihr könnt durch die herleitung die 3 sachen beweisen und mir es erklären.
danke schon mal

01.04.2006, 20:42

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$\begin{eqnarray*} x^{y} *x^{z} = x^{y+z} \end{eqnarray*}$

01.04.2006, 20:49

lacrima

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das weiß ich auch, aber ich brauche die herleitung, warum das gilt
trotzdem danke

01.04.2006, 21:20

mYthos

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Die Basis des Logarithmus sei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} log(a) = r \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} v^r = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(b) = s \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} v^s = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot b = v^r \cdot v^s = v^{r + s} \end{eqnarray*}$

daraus folgt nun unmittelbar:

$\begin{eqnarray*} log(a \cdot b) = log(v^{r + s}) = r + s = log(a) + log(b) \end{eqnarray*}$

Versuche jetzt, die anderen Gesetz analog zu beweisen!

mY+

02.04.2006, 19:53

lacrima

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also zu 2.) hab ich noch nicht mal einen ansatz, weil ich nicht weiß, wie ich anfangen soll.

3.) hab ich hinbekommen

basis des logarithmus sei v

log (a) = r
v^r = a

log (b) = s
v^s = b

a/b = v^r/v^s = v^r-s

-> log (a/b) = log (v^r-s) = r - s = log (a) - log (b)

ich bräuchte aber noch hilfe für 2.)

das is doch richtig, oder?

02.04.2006, 19:54

lacrima

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das mit dem richtig ist auf die gleichung bezogen.

02.04.2006, 20:15

klarsoweit

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Setze $\begin{eqnarray*} r = log_v(a) \end{eqnarray*}$
Dann ist also $\begin{eqnarray*} a = v^r \end{eqnarray*}$
Jetzt berechne mal $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ und ziehe dann den Logarithmus.

02.04.2006, 21:02

lacrima

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ich bekomme das nciht hin...

kannst du mir bitte helfen
wenn ich die ganze gleichung sehe, versteh ich das dann besser und´kann es nachvollziehen

02.04.2006, 22:04

Daktari

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RE: logarithmusgleichungen beweisen

Zitat:

Original von lacrima
hallo
ich brauche hilfe beim beweisen folgenden gleichungen

1.) log ( a * b ) = log a + log b
2.) log ( a^b ) = b * log a
3.) log ( a / b ) = log a - log b

Gleichung 3 folgt aus 1 und 2 wenn man bedenkt, dass
$\begin{eqnarray*} log(\frac{a}{b})=log(a*\frac{1}{b}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(\frac{a}{b})=log(a*\frac{1}{b})=log(a*b^{-1})= \underbrace{log(a)+log(b^{-1})}_{1.)}=log(a) \underbrace{-log(b)}_{2.)} \end{eqnarray*}$ q.e.d.

EDIT: Es steht zwar schon ein Beweis da, doch ich finde meiner ist schöner und kürzer.

EDIT2: Merke dir gut, dass ALLE Logarithmengesetze aus den entsprechenden Potenzgesetzen hergeleitet werden. Du hättest auch mit $\begin{eqnarray*} \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \end{eqnarray*}$ anrücken können... ist aber länger

02.04.2006, 22:31

Ace Piet

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> $\begin{eqnarray*} log(a \cdot b) = log(v^{r + s}) = r + s = log(a) + log(b) \end{eqnarray*}$

vermutlich eine Trivialität für $\begin{eqnarray*} r,s \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , was man (sofort) durch Klammernbilden / Umsortieren sieht. - Wer begründet den (IMHO gültigen) Fall : $\begin{eqnarray*} r,s \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ...
*Danke* Wink

-Ace- (-~-~-> ReferenzKristallNacht...) Teufel

02.04.2006, 23:24

Daktari

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Zitat:

Original von lacrima
ich bekomme das nciht hin...

kannst du mir bitte helfen
wenn ich die ganze gleichung sehe, versteh ich das dann besser und´kann es nachvollziehen

Eigentlich ist das hier kein Komplettlösungsboard, aber wenn du damit so große Probleme hast, dann macht man mal ne Ausnahme

Du kennst doch bestimmt das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} (a^m)^n = a^{m*n} \end{eqnarray*}$
Setze $\begin{eqnarray*} a^m:=u \end{eqnarray*}$ dann steht folgendes da $\begin{eqnarray*} u^n=a^{m*n} \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} a^m:=u \end{eqnarray*}$ benutze man mal den Logarithmis zur Basis a
dann ist: $\begin{eqnarray*} log_a(u)=m \end{eqnarray*}$

Dann nur noch einsetzen und alles dem Logarithmus zum Fraß vorwerfen

$\begin{eqnarray*} log_a(u^n) = log_a(a^{m*n})=log_a(a^{n*m})=n*m=n*log_a(u) \end{eqnarray*}$ q.e.d.

EDIT: q.e.d. vergessen. Macht zumindest optisch mehr her Big Laugh

03.04.2006, 12:54

Daktari

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Da $\begin{eqnarray*} log_e = ln \end{eqnarray*}$ gelten die Gesetze auch für den ln

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