konvexe Optimierung: Hesse-Matrix der Lagrangefunktion

28.06.2008, 15:33

MisterMagister

konvexe Optimierung: Hesse-Matrix der Lagrangefunktion

Hallo. Ich habe ein Problem aus der VWL:

Gegeben ist eine quasi-konkave Nutzenfunktion U(x,y) mit folgenden Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} U_x := \frac{\partial U}{\partial x} > 0, \qquad U_y := \frac{\partial U}{\partial y} > 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_{xx} := \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} < 0, \qquad U_{yy} := \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} < 0. \end{eqnarray*}$

Diese wird nun unter Beachtung der Budgetrestriktion

$\begin{eqnarray*} px = wy+v \end{eqnarray*}$

maximiert. Lagrangeansatz:

$\begin{eqnarray*} L(x,y;\lambda) = U(x,y) + \lambda \cdot (-px + wy+v) \end{eqnarray*}$

Bedingungen 1. Ordnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial x} = U_x - \lambda p = 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y} = U_y + \lambda w = 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -px + wy+v = 0. \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. In meinem Lehrbuch wird nun behauptet, das die Determinante der Matrix

$\begin{eqnarray*} D := \begin{pmatrix} U_{xx} & U_{xy} & -p \\ U_{yx} & U_{yy} & w \\ -p & w & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

im Optimum positiv ist. Das sehe ich aber anders:

D ist doch gerade die Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion L. Und dort, wo diese ihr Maximum annimmt, ist die Hesse-Matrix, also D, negativ definit. Das impliziert, dass -D positiv definit ist und nach Hauptminorenkriterium gilt, dass alle Hauptminoren von -D positiv sind. Also gilt doch insbesondere:

$\begin{eqnarray*} 0 < \det (-D) = (-1)^3 \det(D). \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \det(D) < 0. \end{eqnarray*}$

Habe ich irgendwo einen Denkfehler?

28.06.2008, 20:17

Dual Space

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RE: konvexe Optimierung: Hesse-Matrix der Lagrangefunktion
Kann es sein, dass du (fälschlicher Weise) annimmst, dass positive (oder auch negative) Definitheit einer 3x3-Matrix durch das Vorzeichen ihrer Determinante bestimmt wird?

29.06.2008, 15:13

Torben

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Berechne lieber mal die Eigenwerte der Matrix.

29.06.2008, 17:38

MisterMagister

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Nee, die Hesse-Matrix ist doch im Maximum immer negativ definit, oder? Und daraus schließe ich auf die Negativität der Determinante, da es gerade eine 3x3-Matrix ist.

29.06.2008, 20:18

Dual Space

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Zitat:

Original von MisterMagister
Nee, die Hesse-Matrix ist doch im Maximum immer negativ definit, oder? Und daraus schließe ich auf die Negativität der Determinante, da es gerade eine 3x3-Matrix ist.

Bei der Methode der Lagrange-Multiplikatoren berechnest du das Extremum einer Funktion f unter der Nebenbedingung g mit Hilfe der Lagrangefunktion F=f+ag. Dafür bestimmst du die stationären Punkte von F. Im allgemeinen ist dann eine Lösung des Problems eben nur ein stationärer Punkt von F.

Oder, um es mit Wikis Worten zu sagen:

Zitat:

Be aware that the solutions are the stationary points of the Lagrangian F, and are saddle points: they are not necessarily extrema of F.

01.07.2008, 09:43

MisterMagister

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OK, hab ich verstanden. Nur die Nutzenfunktion U nimmt ein Maximum an, nicht jedoch die Lagrangefunktion. Daher kann man nicht so einfach auf die Definitheit der Matrix schließen. Bin übrigens inzwischen auf folgendes gestoßen:

Geränderte Hesse-Matrix

Such jetzt noch ein Dokument / einen Link der den theoretische Hintergrund ein wenig beleuchtet.

Dankeschön.

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