messbare Funktionen: Beweis richtig?

02.04.2006, 14:05

localhost

messbare Funktionen: Beweis richtig?

Hallo!

Ich habe folgenden Aufgabenstellung:

Seien f, g zwei Zufallsvariablen (=messbare Abbildungen) eines Wahrscheinlichkeitsraumes $\begin{eqnarray*} (\Omega, A, \mathbb{P}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Sei f surjektiv und $\begin{eqnarray*} {A_f} \end{eqnarray*}$ die kleinste $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra, auf der f messbar ist: $\begin{eqnarray*} A_f = {f^{-1}(M): M \ in B(\mathbb{R})} \end{eqnarray*}$

Zeige:
Die Abbildung g ist genau dann messbar bezüglich $\begin{eqnarray*} A_f \end{eqnarray*}$ , wenn es eine (bezüglich $\begin{eqnarray*} B(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ) messbare Funktion h: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} g=h \circ f \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} B(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ist die Borel'sche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra)

messbare Funktion
Borel'sche sigma-Algebra

Ist der folgende Beweis richtig?

i) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ :
g messbar bezgl. $\begin{eqnarray*} A_f \end{eqnarray*}$ , z.z.: $\begin{eqnarray*} \exists h \end{eqnarray*}$ messbar: $\begin{eqnarray*} g= h \circ f \end{eqnarray*}$
Beh.: $\begin{eqnarray*} g \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist messbar.
Bew.:
für $\begin{eqnarray*} M \subset B(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} ({g \circ f^{-1})}^{-1}(M) = (f \circ g^{-1})(M) = f(g^{-1}(M)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A':= g^{-1}(M) \subset A_f \end{eqnarray*}$ , weil g messbar
$\begin{eqnarray*} f(A') \subset B(\mathbb{R}) \Rightarrow g \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist messbar
definiere $\begin{eqnarray*} h := g \circ f^{-1} \Rightarrow h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist messbar

ii) $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \exists h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ messbar z.z: $\begin{eqnarray*} g=h \circ f \end{eqnarray*}$ ist messbar

d.h.: z.z. $\begin{eqnarray*} g^{-1}(M) \subset A_f \qquad \forall M \subset B(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g^{-1} (M) = (f ^{-1} \circ h^{-1})(M) =f ^{-1}(h^{-1}(M)) \end{eqnarray*}$
h messbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow M':=h^{-1}(M) \subset B(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$
also:
f messbar $\begin{eqnarray*} f ^{-1}(M') \subset A_f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g^{-1}(M) \subset A_f \quad \forall M \subset B(\mathbb{R}) \qquad \Rightarrow \end{eqnarray*}$ g ist messbar.

02.04.2006, 14:27

Auf diesen Beitrag antworten »

ii) ist in Ordnung, aber bei i) sehe ich Probleme gleich am Start:

Z.B. ist für $\begin{eqnarray*} f:\;\Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die "Umkehrfunktion" erstmal nur als mengenwertige Abbildung zu verstehen, d.h. $\begin{eqnarray*} f^{-1}:\mathbb{R}\to\wp(\Omega) \end{eqnarray*}$ oder wegen der Meßbarkeit genauer als $\begin{eqnarray*} f^{-1}:\mathbb{R}\to A \end{eqnarray*}$ . Jedenfalls klappt $\begin{eqnarray*} f^{-1}:\mathbb{R}\to \Omega \end{eqnarray*}$ nur, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, und das ist hier nicht vorausgesetzt.

Insofern ist bereits der Ansatz $\begin{eqnarray*} g \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ äußerst fragwürdig.

02.04.2006, 14:58

localhost

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal!

Bei i) ist offensichtlich wirklich noch zusätzliche Argumentation notwendig.
Werd mir das nochmal überlegen... verwirrt

02.04.2006, 15:02

Auf diesen Beitrag antworten »

Was du beweisen sollst, nennt man in der Maßtheorie das Faktorisierungslemma. Richtung i) scheint nur mit höherem Aufwand nachweisbar zu sein, und zwar beweist man das zunächst über Treppenfunktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dann beliebige positive messbare Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , schließlich für alle messbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Wenn du schon diverse Beweise in der Maßtheorie gesehen hast, weißt du, was ich meine.

Der Beweis ist übrigens auf der angegebenen (leider nur englischen) Wikipedia-Seite mit angegeben. Z.B. im "Bauer: Maßtheorie" ist dieser Beweis in nahezu identischer Form auch zu finden.

02.04.2006, 15:08

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur für den Fall, dass noch weitere Literaturquellen gesucht werden: Auch das Kapitel III (Messbare Funktionen) in Elstrodt's "Maß- und Integrationstheorie" finde ich äußerst hifreich und vor allem leicht verständlich.

02.04.2006, 15:09

localhost

Auf diesen Beitrag antworten »

ok:
Ich habe f surjektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(A_f)=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Außerdem:
f messbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall M \subset B(\mathbb{R}): f^{-1}(M) \subset A_f \end{eqnarray*}$

Damit gilt dann doch $\begin{eqnarray*} f^{-1}: \mathbb{R} \to A_f \end{eqnarray*}$
Was für den Beweis ausreichen sollte ...

Richtig?

02.04.2006, 15:11

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist zweifelsohne richtig. Aber es rettet nicht deinen obigen Beweis. unglücklich

02.04.2006, 15:26

localhost

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Faktorisierungslemma wird aber -soweit ich sehe - nirgendwo f surjektiv verlangt.
Mit Surjektivität ist der Beweis hoffentlich etwas einfacher ...

02.04.2006, 15:31

Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub ich nicht. Der Knackpunkt ist die fehlende Bijektivität, die deinen Beweisversuch zerstört.

Im übrigen: Ich glaube nicht, dass die das im Bauer (bzw. auf der Wikipedia-Seite) so kompliziert machen würden, wenn das nicht unbedingt sein müsste. Und ich kann nicht erkennen, wie zusätzliche Surjektivität da irgend etwas vereinfachen könnte.

02.04.2006, 15:36

localhost

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Im übrigen: Ich glaube nicht, dass die das im Bauer (bzw. auf der Wikipedia-Seite) so kompliziert machen würden, wenn das nicht unbedingt sein müsste. Und ich kann nicht erkennen, wie zusätzliche Surjektivität da irgend etwas vereinfachen könnte.

*g* Da ist natürlich was dran. Andererseits glaube ich auch nicht, dass unser Prof. "f surjektiv" ohne guten Grund fordert.

Auf jeden Fall muss ich den Beweis nochmal gründlich überdenken...

Danke nochmal!

Neue Frage »

Antworten »

messbare Funktionen: Beweis richtig?

Verwandte Themen