Konvergenz / Reihen

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Mr Click Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz / Reihen
Hallo alle!


ich habe ein paar grundsätzliche Fragen zu Reihen/Funktionenfolgen und Pktweise/gleichmäßiger Konvergenz.

Toll wärs wenn jemand sich das durchliest und mir sagt ob ich was falsch verstanden habe...
Ich habe mich damit schon ein bischen befasst aber jetzt ist ein Chaos in meinem Kopf.
Ich würde gerne wissen ob ich das alles richtig verstanden habe:

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1.) Wenn ich ein funktionenfolge f_n(x) habe zeige ich doch Punktweisekonvergenz indem ich

für jedes x aus einem Intervall zeige, dass f_n einen Grenzwert hat. z.b. f_n(1) -> 0 wenn es für alle x aus I erfüllt ist habe ich punktweise Konvergenz.



2.) wenn ich gleichmäßige Konvergenz zeigen soll muss ich die grenzfunktion von f_n(x) (also f(x))

bestimmen . Ist diese Stetig kann ich mit | f_n(x) - f(x) | < epsilon die gleichmäßige Konvergenz zeigen

(wenns zu jedem epsilon ein N gibt so die Ungleich erfüllt ist.)
(Falls nicht Stetig folgt daraus, dass keine gleichmäßige Konvergenz geben kann)


3.) Kann ich bei Funktionenreihen das gleiche machen wie in 2.) ?

Also z.b.f(x):=
Ich definier mir die Funktionenfolge g_n(x)=sin(nx)/sqrt(1+n^3). Dann ermittel ich g(x) und zeige damit gleichmäßige Konvergenz? oder geht das nicht. Darf ich gleichmäßige Konvergenz bei
Funktionenreihen nur mit dem Majorantenkriterium zeigen?
DArf ich die Kriterien von den unendlichen Reihen nehmen(z.B. QuotientenKriterium)?




4.)Sind diese Begriffe richtig: f_n heißt Funktionenfolge | heißt unendliche Reihe | heißt

Funktionenreihe oder? sogar wenn z.b. ist ( hier nennt man diese reihe doch Fourierreihe

weil trigonometrische Funktionen drin sind



ich weis das sind viele fragen, aber ich würde freuen wenn mir jemand antwortet...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

1. sieht gut aus.

Zitat:
Original von Mr Click
Ist diese Stetig kann ich mit | f_n(x) - f(x) | < epsilon die gleichmäßige Konvergenz zeigen

(wenns zu jedem epsilon ein N gibt so die Ungleich erfüllt ist.)

Genauer: Wenn es zu jedem ein (von unabhängiges) gibt, sodass die Ungleichung für alle und alle des Definitionsbereiches erfüllt ist.

Zitat:
Original von Mr Click
(Falls nicht Stetig folgt daraus, dass keine gleichmäßige Konvergenz geben kann)

Das ist im Allgemeinen falsch. Wer sagt denn, dass jedes stetig ist? Das hast du nirgendwo als Voraussetzung erwähnt! Die Aussage, dass die Konvergenz nicht gleichmäßig sein kann, falls die Grenzfunktion unstetig ist, stimmt dann, wenn (fast) alle stetig sind. Wenn allerdings unendlich viele der auch unstetig sind, kommst du mit diesem Argument nicht weit. Dann kann die Konvergenz nämlich trotzdem gleichmäßig sein und du solltest das gleiche Kriterium anwenden, welches du davor genannt hast.

Zitat:
Original von Mr Click
3.) Kann ich bei Funktionenreihen das gleiche machen wie in 2.) ?

Also z.b.f(x):=
Ich definier mir die Funktionenfolge g_n(x)=sin(nx)/sqrt(1+n^3). Dann ermittel ich g(x) und zeige damit gleichmäßige Konvergenz? oder geht das nicht.

Falls du meinst, dass du als Grenzfunktion der Folge bestimmst und dann die gleichmäßige Konvergenz von gegen zeigst, dann bringt dir das für die Reihe absolut gar nichts. Nur weil die Glieder gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergieren (wenn sie überhaupt konvergieren, dann müssen sie gegen Null konvergieren), heißt das noch lange nicht, dass die Reihe gleichmäßig konvergiert. Für die gleichmäßige Konvergenz der Reihe musst du viel mehr zeigen, nämlich dass die Folge ,



gleichmäßig konvergiert. Wie man das macht, ist von Reihe zu Reihe sehr verschieden. Manchmal geht es eben so, dass man die Grenzfunktion



hernimmt (ob man diese nun ausrechnen kann oder nicht) und für diese dann eben das obige Kriterium zeigt, was du genannt hast: Zu jedem gibt es ein , sodass für alle und alle aus dem Definitionsbereich stets



gilt. Es gibt aber auch "direkte" Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz von Reihen.

Zitat:
Original von Mr Click
Darf ich gleichmäßige Konvergenz bei
Funktionenreihen nur mit dem Majorantenkriterium zeigen?
DArf ich die Kriterien von den unendlichen Reihen nehmen(z.B. QuotientenKriterium)?

Natürlich bist du nicht gezwungen, nur das Majorantenkriterium zu nutzen. Es ist aber sehr oft das Nützlichste. Allerdings musst du gut unterscheiden, was für ein Majorantenkriterium du meinst! Das 'normale' Majorantenkriterium sagt dir erstmal nur, ob die Reihe für ein spezielles konvergiert, falls du eine von abhängige Majorante angibst. Kannst du aber sogar eine von unabhängige Majorante angeben, dann ist die Konvergenz wirklich gleichmäßig. Dies ist das sogenannte Weierstraßsche Majorantenkriterium.

Es gibt durchaus noch weitere Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz von Reihen, diese sind allerdings etwas komplizierter. Falls du einmal suchen willst: Abelsches und Dirichletsches Kriterium sind die gängigsten. Achte darauf, ob du als Suchergebnis das Kriterium für die Konvergenz einer "normalen" Reihe (Zahlenreihe) oder das Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen erhältst.

Zitat:
Original von Mr Click
4.)Sind diese Begriffe richtig: f_n heißt Funktionenfolge | heißt unendliche Reihe | heißt

Funktionenreihe oder? sogar wenn z.b. ist ( hier nennt man diese reihe doch Fourierreihe

weil trigonometrische Funktionen drin sind

Falls jedes eine Funktion ist, dann ist eine Funktionenfolge, ja. Das zweite ist eine unendliche (Zahlen-)Reihe. Das dritte ist eine Funktionenreihe.

Beim vierten Beispiel musst du vorsichtig sein. Zunächst ist es, wenn es um die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe geht, recht unerheblich, ob es eine Fourierreihe ist. Bei der gleichmäßigen Konvergenz interessiert man sich eben für die gleichmäßige Konvergenz. Die Fourierreiheentwicklung dient ja eher dazu, eine Funktion in eine trigonometrische Reihe zu entwickeln. Dies sind zunächst erstmal zwei verschiedene Interessen. Ob es eine Fourierreihe ist oder nicht, ist einem bei der Untersuchung der gleichmäßigen Konvergenz prinzipiell erstmal egal (solange man nicht Kriterien über die gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen benutzt - dann wäre es natürlich nützlich).

Des Weiteren ist es übrigens nicht sofort klar, ob dies eine Fourierreihe einer Funktion ist. Dazu müsstest du eine Funktion angeben, welche diese als Fourierreihe besitzt. Sicher ist dies möglich, aber ich würde zunächst höchstens von einer "trigonometrischen Reihe" sprechen.
Mr Click Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal für die ausführliche antwort!

ok sry das hab ich schlecht formuliert: ich meinte wenn ich lim( f_n ) -> f(x) und f(x) unstetig im intervall
ist dann folgt daraus nicht gleichmäßige konvergenz.



1.) wenn bei einer Abschätzung noch ein x auftritt was mache ich dann damit?

wenn das x im nenner steht x=0 (nach unten abschätzen, also das x wegelassen weil der ausdruck größer wird) und wenn es oben steht das größte element im intervall

einsetzen? oder wie gehe ich da vor.

z.B. bei würde ich das maximalste x einsetzen, wenn das x unten wäre würde ich es null seten (ich möchte nur wissen ob meine motivation die richtige ist , eben nach unten bzw. oben abschätzen)


und wenn ich gleichmäßige konvergenz auf [0, infinity) zeigen müsste würde ich
x=n setzen ( damit das x immer mit dem n wandert) wäre das ok??



2.)

ich hab gerade nachgeschaut: in meinem skript gibt es bloß dass Majorantenkriterium( für dieses muss man
viele Konvergente zahlenreihen kennen oder? gibts eine Seite wo einpaar davon aufgelistet sind, denn

ich kenne bloß 1/(n^2) und das ist denke ich ein bisschen wenig

z.B. wenn ich 1/(n^(3/2)) kann ich die abschätzung mit n^2 vergessen. wie kann ich das dann zeigen?




3.) bei den Fourierreihen gibt es doch so ein Kriterium:

für gleichmäßige Konvergenz:

Ist die 2*Pi.periodische Funktion f auf [-Pi,Pi] stückweise glatt, so konvergiert ihre Fourierreihe auf jedem kompakten Intervall, das keine Unstetigkeitsstelle von f enthält, gleichmäßig gegen f.

d.h. doch , wenn ich f kenne und die funktion auf dem oben angegeben Intervall betrachte und diese funktion stetig und stückweise glatt ist, konvergiert ihre Fourierreihe.


gruß

click
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mr Click
ok sry das hab ich schlecht formuliert: ich meinte wenn ich lim( f_n ) -> f(x) und f(x) unstetig im intervall
ist dann folgt daraus nicht gleichmäßige konvergenz.

Das ist immer noch falsch. Du hast noch immer nicht gefordert, dass (fast) alle stetige Funktionen sind. Das ist aber grundlegend bei dieser Argumentation, die du danach anbringst.


Zitat:
Original von Mr Click
1.) wenn bei einer Abschätzung noch ein x auftritt was mache ich dann damit?

wenn das x im nenner steht x=0 (nach unten abschätzen, also das x wegelassen weil der ausdruck größer wird) und wenn es oben steht das größte element im intervall

einsetzen? oder wie gehe ich da vor.

z.B. bei würde ich das maximalste x einsetzen, wenn das x unten wäre würde ich es null seten (ich möchte nur wissen ob meine motivation die richtige ist , eben nach unten bzw. oben abschätzen)

Wenn da noch ein steht, kann es sein, dass man das da auch nicht durch eine ordentliche Abschätzung wegbekommt. Vielleicht ist dann die Reihe nur punktweise konvergent, das weiß man natürlich vorher nicht. Deine Idee mit dem nach unten und nach oben abschätzen ist an sich richtig, allerdings solltest du dabei aufpassen. So einfach geht das natürlich nicht immer. Des Weiteren solltest du beachten, dass du die Reihe über die Beträge der Funktionen betrachten musst. In diesem Fall ist das egal, aber ginge es um alle , so wäre es schon wichtig, dass man



hinschreibt.

Zitat:
Original von Mr Click
und wenn ich gleichmäßige konvergenz auf [0, infinity) zeigen müsste würde ich
x=n setzen ( damit das x immer mit dem n wandert) wäre das ok??

Nein, in gar keinem Fall! Das ist absolut falsch. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass es für alle gleichzeitig gilt. Da darfst du dir nicht eine spezielle Folge raussuchen. Du musst für jedes auch wirklich alle betrachten.

Zitat:
Original von Mr Click
ich hab gerade nachgeschaut: in meinem skript gibt es bloß dass Majorantenkriterium( für dieses muss man
viele Konvergente zahlenreihen kennen oder? gibts eine Seite wo einpaar davon aufgelistet sind, denn

ich kenne bloß 1/(n^2) und das ist denke ich ein bisschen wenig

z.B. wenn ich 1/(n^(3/2)) kann ich die abschätzung mit n^2 vergessen. wie kann ich das dann zeigen?

Ich kenne keine Seite, aber da sollte man schon ein paar kennen. Die wichtigste ist sicher die geometrische Reihe



für . Sonst gibt es einige Reihen, denen man sofort ansehen sollte, dass sie konvergieren. Allerdings würde es etwas ausarten, wenn ich dir jetzt eine Liste geben sollte, zumal ich die auch nicht einfach so parat habe. Wenn ich eine Reihe vor mir sehe, dann kann ich meist sehr gut entscheiden, ob sie konvergiert, aber sie alle aufzuzählen ist etwas anderes ...
Z.B. solltest du auch wissen, dass alle Reihen der Form



für alle konvergieren. Insbesondere bringt der Spezialfall die Antwort auf deine Frage. Der wohl gängigste Beweis für die Konvergenz der Reihe geht über das Cauchysche Verdichtungskriterium für Reihen. Als Alternative fiele mir auch noch das Integralkriterium ein.

Zitat:
Original von Mr Click
3.) bei den Fourierreihen gibt es doch so ein Kriterium:

für gleichmäßige Konvergenz:

Ist die 2*Pi.periodische Funktion f auf [-Pi,Pi] stückweise glatt, so konvergiert ihre Fourierreihe auf jedem kompakten Intervall, das keine Unstetigkeitsstelle von f enthält, gleichmäßig gegen f.

d.h. doch , wenn ich f kenne und die funktion auf dem oben angegeben Intervall betrachte und diese funktion stetig und stückweise glatt ist, konvergiert ihre Fourierreihe.

Ja, das kann gut sein. Ich stecke da nicht so tief drin. Aber ich hatte es ja oben auch erwähnt: Zunächst sind die beiden Fragen völlig anderer Natur. Aber sobald man natürlich ein Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen hat und eine vorgelegte Reihe als solche erkennt, auf die man dieses anwenden kann, ist die Verbindung hergestellt und man kann sie natürlich auch einsetzen.
Mr Click Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank ! Freude smile


das müsste genug sein .
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