Intervall angeben

28.06.2008, 19:08

hyperbel

Intervall angeben

Hallo,

ich habe eine Funktion angegeben, und zwar $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{sin(1-x²)} \end{eqnarray*}$

Und soll nun ein geeignetes Intervall angeben, wo die Funktion bijektiv ist.

Ich soll nämlich die Umkehrfunktion bilden, und dafür muss ich das Intervall kennen, wo f bijektiv ist.

Wie ermittle ich denn dieses Intervall?
Ich hab mal nachgesehen, was genau bijektiv bedeutet. Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv zugleich ist, wenn also für jedes x aus der Definitionsmenge eindeutig ein y gibt, sodass gilt f(x)=y.

Aber wie ermittler ich nun ein Intrevall, wo für jedes x nun diese Eigenschft gilt?

mfg

28.06.2008, 19:45

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Funktion ist klar stetig, das heisst nimmst du ein Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich ist das Bild unter deiner Funktion wieder ein Intervall $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ . Hast du zusätzlich auf dem Definitionsintervall strenge Monotonie, so ist deine Funktion $\begin{eqnarray*} f:I\to J \end{eqnarray*}$ auch bijektiv.

28.06.2008, 21:47

hyperbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm...ich glaube, das beantwortet meine Frage nicht ganz.

Ich soll ja ein Intervall angeben, wo meine Funktion bijektiv ist.

Ich dachte mir dabei, dass es im gesamten Definitionsbereich umkehrbar ist, weil wir keine undefinierten Stellen usw, haben.
Aber so genau weiß ich das auch nicht.

Die trigonometrische Funktion sin(x) ist umkehrbar, die umkehrfunktion hat aber dann nur den Wertebereich -1 bis 1.

die e-funkton ist bijektiv, also müsste ich nun irgendwie diese beiden eigenschaften miteinander kombinieren, nur leider weiß ich nicht genau wie :/

ist dann somit der wertebereich der Umkehrfunktion der gesamten funktion f(x) also auch -1<=x<=1?

ich weiß nicht weiter...:/

29.06.2008, 19:09

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Hast du zusätzlich auf dem Definitionsintervall strenge Monotonie, so ist deine Funktion $\begin{eqnarray*} f:I\to J \end{eqnarray*}$ auch bijektiv.

Soll heissen, schaue wo deine Funktion streng monoton ist!
Das kann man mit der Ableitung überprüfen [Vorzeichen der Ableitung etc].

29.06.2008, 20:12

puerquito

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hyperbel

ist dann somit der wertebereich der Umkehrfunktion der gesamten funktion f(x) also auch -1<=x<=1?

ich weiß nicht weiter...:/

Die Umkehrfunktion wird dann wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{1-arcsin(ln(x))} \end{eqnarray*}$

der Wertebereich liegt dann tatsächlich zwischen -1 und 1. der Definitionsbereich ändert sich aber. "ln(x)" ist zwar für alle x definiert, "arcsin" aber nur zwischen -1 und 1.

29.06.2008, 20:26

puerquito

Auf diesen Beitrag antworten »

muss mich berichtigen. der Wertebereich liegt auch nicht zwischen -1 und 1

Schande über mich Gott

kann garnicht sein, da "arcsin" beliebige Werte annehmen kann (weil periodische Funktion). daher wird der Wertebereich zwischen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ liegen

30.06.2008, 02:54

hyperbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme irgendwie mit euren Erklärungen nicht klar.

In der Aufgabe soll ich zuerst ein Intervall angeben, wo f bijektiv ist, anschließend die Umkehrfunktion bilden.

Ich hab die Ableitung gebildet, um zu sehen, wo die Funktion streng monoton ist. Aber da die Funktion ein Sinus-Argument enthält und somit periodisch ist, hat sie immer Bereiche, wo sie streng monoton ist und dann wieder nicht.

Ich komme echt nicht klar unglücklich

30.06.2008, 08:29

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hyperbel

Ich hab die Ableitung gebildet, um zu sehen, wo die Funktion streng monoton ist. Aber da die Funktion ein Sinus-Argument enthält und somit periodisch ist, hat sie immer Bereiche, wo sie streng monoton ist und dann wieder nicht.

Und genau so ein Intervall zu finden ist dein Ziel smile

Machen wir einmal ein anderes Beispiel: $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ . Du wirst mir zustimmen dass das Ding nicht bijektiv ist, so wie es dasteht. Die Idee ist nun Intervalle mit strenger Monotonie zu finden, denn dort hat man auch Bijektivität.
Betrachte also die Ableitung $\begin{eqnarray*} g'(x)=2x \end{eqnarray*}$ . Man sieht dass für das Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ die Ableitung ihr Vorzeichen nicht wechselt, soll heissen: man hat dort strenge Monotonie.
Ich wähle nun das Intervall $\begin{eqnarray*} I:=[0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Die Werte welche $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall annimmt sind in $\begin{eqnarray*} J:=[0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Das heisst also $\begin{eqnarray*} g:I\to J \end{eqnarray*}$ ist bijektiv.

Ähnlich kann man mit der Funktion $\begin{eqnarray*} h(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ verfahren. Ableitung: $\begin{eqnarray*} h'(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ . Das heisst man kann beispielsweise das Intervall $\begin{eqnarray*} I:=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ nehmen. Wertebereich auf dem Intervall anschauen liefert $\begin{eqnarray*} J:=[-1,1] \end{eqnarray*}$ [weil strenge Monotonie herrscht auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , genügt es natürlich auch nur die Funktionswerte am Rand des Intervalls auszurechnen !]
Das bedeutet $\begin{eqnarray*} h:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to [-1,1] \end{eqnarray*}$ ist bijektiv.
Hier hätte man natürlich genausogut jedes andere Intervall mit strenger Monotonie nehmen können!

Ist klarer geworden?

30.06.2008, 15:54

hyperbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent

Hier hätte man natürlich genausogut jedes andere Intervall mit strenger Monotonie nehmen können!

Das war die ganze Zeit meine Frage und jetzt wird es mir schon klarer. Die Funktion f(x) hat viele Intervalle, wo sie streng monoton ist, von daher wollte ich wissen, ob ich alle Intervalle in Betracht ziehen muss oder nur ein Intervall angeben kann, wo f streng monoton ist.

Die Umkehrfunktion ist auch nur in einem sehr kleinen Intervall definiert, von daher spielt das glaube ich schon eine Rolle, welches Intervall genau ich angebe, wo f bijektiv ist.

30.06.2008, 19:38

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Für jedes Intervall, auf dem die Funktion streng monoton wächst, ist die Umkehrfunktion eine andere.

Neue Frage »

Antworten »

Intervall angeben

Verwandte Themen