Geometrische Reihe

02.04.2006, 16:28

Kira 007

Geometrische Reihe

Hallo

Ich habe bei der Herleitung der Geometrischen Reihe Probleme

$\begin{eqnarray*} s=a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich mir diese Formel am besten Herleiten ?

Gruß Kira

02.04.2006, 16:31

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst Du schon vollständige Induktion?

02.04.2006, 16:35

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

@Frooke: es geht hier wohl um eine Herleitung nicht um eine Beweis.

@Kira:
hier bei wiki gibt es eine Herleitung.
Wenn du aber nur einen Ansatz willst, dann sag das bitte.

02.04.2006, 16:44

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mr. PSI: Hast recht. War ich etwas voreilig, sorry Kira!

02.04.2006, 16:52

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen dank für die Hilfe

habe mir dazu folgendes gedacht

Für die Geometrische Reihe gilt

$\begin{eqnarray*} s_n=a+ak+ak^2+...+ak^n-2+ak^n-1 \end{eqnarray*}$

wenn ich diese zeile nun mit k multipliziere erhalte ich

$\begin{eqnarray*} ks_n=ak+ak^2+ak^3+...+ak^n-1+ak^n \end{eqnarray*}$

diese beiden Gleichungen muss ich nun von einander subtrahieren

$\begin{eqnarray*} s_n-ks_n=a-ak^n \end{eqnarray*}$

und dann

Gruß Kira

02.04.2006, 17:36

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

//edit:

dein Gedankengang stimmt eh mit der gängigen Herleitung überein. Jetzt fehlen nur noch ein paar Umformungsschritte und fertig.

Aber ich weiss nicht ob du überhaupt noch diesen Tipp brauchst, kann man nicht so richtig aus deiner Antwort rauslesen ^^.

02.04.2006, 17:47

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Hupps sorry das sollte nicht falsch sein das kommt wegen meiner schlechten Latex schreibweise, meinte schon das richtig aber das kannst Du ja nicht ahnen.

Wenn ich die beiden Gleichungen subtrahiere komme ich nur nie auf
meine

$\begin{eqnarray*} a-ak^n \end{eqnarray*}$

das bekomme ich bei der Aufgabe herrasu nur das ist ja falsch

$\begin{eqnarray*} a+ak^n-²-ak^3-ak^n \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

02.04.2006, 17:54

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, Kira, du liegst komplett richtig. Ich hab da Mist gebaut. Es kommt nämlich darauf an, wie man die geometrische Reihe definiert.

Variante 1: $\begin{eqnarray*} s_n=a+ak+ak^2+...+ak^{n-1}+ak^n \end{eqnarray*}$

Variante 2: $\begin{eqnarray*} s_n=a+ak+ak^2+...+ak^{n-12}+ak^{n-1} \end{eqnarray*}$

Du hast wohl Variante 2 genommen, was vollkommmen in Ordnung ist. Ich bin hingegen von Variante 1 ausgegangen. Nochmals Sorry.

Du kannst also ganz in Ruhe deine Idee zur Herleitung weiter verfolgen.

02.04.2006, 17:56

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung der beiden Gleichungen, habe die beiden von einander subtrahiert

$\begin{eqnarray*} a+ak^n-²-ak^3-ak^n \end{eqnarray*}$ ist die etwa richtig

da müsste doch $\begin{eqnarray*} a+ak^n \end{eqnarray*}$ raus kommen oder?

02.04.2006, 18:08

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

deine Idee, die du in dem nachfolgendem Zitat gemacht hast, ist absolut richtig. Diese kannst du weiterverfolgen.

Zitat:

Original von Kira 007
Ok vielen dank für die Hilfe

habe mir dazu folgendes gedacht

Für die Geometrische Reihe gilt

$\begin{eqnarray*} s_n=a+ak+ak^2+...+ak^n-2+ak^n-1 \end{eqnarray*}$

wenn ich diese zeile nun mit k multipliziere erhalte ich

$\begin{eqnarray*} ks_n=ak+ak^2+ak^3+...+ak^n-1+ak^n \end{eqnarray*}$

diese beiden Gleichungen muss ich nun von einander subtrahieren

$\begin{eqnarray*} s_n-ks_n=a-ak^n \end{eqnarray*}$

und dann

Gruß Kira

02.04.2006, 18:11

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok soweit so gut

ich komme nur nie auf das richtige Ergebnis $\begin{eqnarray*} a+ak^n \end{eqnarray*}$

wenn ich die subtrahiere, bei mir bleibt mehr über

nämlich das hier

$\begin{eqnarray*} a+ak^n-²-ak^3-ak^n \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

02.04.2006, 18:17

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, das meinst du. Ich dachte du würdest an ner falschen Idee weiterarbeiten. Hammer

Wenn man die beiden Gleichungen voneinander subtrahiert sollte $\begin{eqnarray*} a-ak^n \end{eqnarray*}$ rauskommen.
Damit du besser subtrahieren kannst, solltest du gleiches unter gleiches schreiben, z.B. ak unter ak, ak² unter ak², etc.

02.04.2006, 18:28

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich mache das dann mal

$\begin{eqnarray*} a+ak+ak^2+ak^n-²+ak^n-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ak+ak^2+ak^3+ak^n-1+ak^n \end{eqnarray*}$

Dann fällt bei mir das $\begin{eqnarray*} ak^n-1,ak^2ak^n \end{eqnarray*}$

dér Rest bleibt irgendwie über Hammer

das kann ja nicht sein, irgendwie liegt also ein Fehler

Gruß Kira

02.04.2006, 18:55

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...ok, dann rechne ich das mal für dich:

$\begin{eqnarray*} a+ak+ak^2+...+ak^{n-2}+ak^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ak+ak^2+...+ak^{n-1}+ak^n \end{eqnarray*}$

subtrahiert ergibt das: $\begin{eqnarray*} a-ak^n \end{eqnarray*}$ , weil ja beide Terme die gleichen Ausdrücke enthalten, bis auf a und ak^n

p.s. wenn du mehrere Zahlen/Buchstaben in den Exponenten kriegen willst, dann musst du solche {} setzen.

p.p.s.: ich weiss nicht wie man Abstände ins Latex kriegt...

02.04.2006, 19:04

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ak^{n-2} \end{eqnarray*}$

kann sein das in einer zeile ein Term fällt in der ersten sind es 5 in der zweiten nur 4 liegt es daran.

was ist mit disem Term warum fällt er den weg ?

Gruß Kira

02.04.2006, 19:10

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ak^{n-2} \end{eqnarray*}$ fällt weg, weil $\begin{eqnarray*} ak+ak^2+...+ak^{n-1}+ak^n \end{eqnarray*}$ auch diesen Ausdruck enthält. bei der Multiplikation mit k wird ja aus $\begin{eqnarray*} ak^{n-3} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} ak^{n-2} \end{eqnarray*}$ . Genauso geschieht es mit jedem anderen Ausdruck im Term $\begin{eqnarray*} a+ak+ak^2+...+ak^{n-2}+ak^{n-1} \end{eqnarray*}$ : der Exponent wird um 1 grösser.

02.04.2006, 19:15

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dachte ich mir ist also in Ordnung nun habe ich dann

$\begin{eqnarray*} s_n-ks_n=a-ak^n \end{eqnarray*}$

daraus muss ich nun weiter herleiten, weis aber nicht wirklich wies weiter geht

Gruß Kira

02.04.2006, 19:16

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt folgen nur noch kleine Umformungsschritte, z.B. kann man auf der linken Seite s_n herausheben.

02.04.2006, 19:28

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

was bedeutet herausheben bzw, wie mache ich das

GRuß Kira

02.04.2006, 19:31

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Herausheben ist folgendes: $\begin{eqnarray*} ab+ac=a(b+c) \end{eqnarray*}$

02.04.2006, 19:42

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah so ist das Ok

wenn ich auf der Linken Seite sn herraushebe habe ich

$\begin{eqnarray*} s_n(1-k)=a-ak^n \end{eqnarray*}$

02.04.2006, 19:48

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

*räusper* zwischen a und ak^n gehört ein Minus, kein Plus.

und wie gehts dann weiter, wenn du nach s_n auflösen willst?

02.04.2006, 19:50

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

MMh sorry wegen dem -

hab nicht wirklich eine Idee wie ich weiter mache

herausheben kann ich ja nichts mehr

Gruß Kira

02.04.2006, 19:52

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

man könnte z.B. dividieren....

02.04.2006, 19:58

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

durch 1-k

$\begin{eqnarray*} s_n\frac{a-ak^n}{1-k} \end{eqnarray*}$

das stimmt aber immer noch nicht ganz

02.04.2006, 20:03

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

im Grunde stimmt es. man könnte noch a herausheben. was fehlt denn deiner Meinung nach?

02.04.2006, 20:32

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

weiß nicht sieht irgendwie noch ein wenig anders aus.

so stehts bei mir im Heft, darauf würde ich gern kommen

$\begin{eqnarray*} s_n=\frac{a-ak^n}{1-k}=a*\frac{k^n-1}{k-1} \end{eqnarray*}$

könnte daran liegen oder

02.04.2006, 20:34

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

also zuerst mal a herausheben. Dann kann man im Zähler und Nenner noch ein Minus herausheben, dass sich dann auflöst.

02.04.2006, 20:40

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

und dann erhalte ich meine Formel super

$\begin{eqnarray*} a*\frac{k^n-1}{k-1} \end{eqnarray*}$

Werde mir das sofort mal alles notieren

Vielen vielen Dank für Deine Hilfe

Neue Frage »

Antworten »

Geometrische Reihe

Verwandte Themen