Unitäre Abbildung + Basis

02.04.2006, 19:58

donkarabelas

Unitäre Abbildung + Basis

Hi,

benötige ein wenig hilfestellung bei folgendem Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} \{v_1,\ldots,v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis eines positiv definiten inneren Produktraumes V und $\begin{eqnarray*} f:V \to V unitaer \end{eqnarray*}$ , zeigen sie $\begin{eqnarray*} \{f(v_1),\ldots,f(v_n)\} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls eine Basis von V.

Ich dache mir, das könnte man doch indirekt beweisen: ang. $\begin{eqnarray*} \{f(v_1),\ldots,f(v_n)\} \end{eqnarray*}$ wäre keine Basis von V, dann $\begin{eqnarray*} \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1} \end{eqnarray*}$ sodaß $\begin{eqnarray*} f(v_n)=\alpha_1 f(v_1)+\ldots+\alpha_{n-1} f(v_{n-1}) \end{eqnarray*}$

und für unitäre Abb. gilt doch: $\begin{eqnarray*} <v;w>=<f(v);f(w)> \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} <v_1;v_n>=<f(v_1);\sum_{i=1}^{n-1}~\alpha_i f(v_i)> \end{eqnarray*}$ , dann kan man natürlich noch die linearität im zweiten term ausnützen, aber ich weiß nicht ob ich so auf einen widerspruch kommen könnte?

sind meine überlegungen korrekt?

mfg
elias

02.04.2006, 21:15

Mazze

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Wie ist den der positiv definite innere Produktraum definiert?

02.04.2006, 21:56

donkarabelas

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mit dem standard inneren produkt:

$\begin{eqnarray*} <a;b>=a^t b \end{eqnarray*}$

aber ich denke das das ziemlich egal ist

02.04.2006, 22:22

Abakus

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Ein inneres Produkt ist nach Def. positiv definit. Deine Ausführungen sind soweit ok, ich sehe allerdings nicht, wie da so ohne weiteres ein Widerspruch folgen soll.

Wenn deine Ausgangsbasis eine Orthonormalbasis wäre, ginge das mit deiner Idee. Eine Möglichkeit könnte demnach sein, eine solche Orthonormalbasis geeignet einzuführen und alle Basisvektoren in der neuen O.Basis darzustellen.

ZB.: ergänze $\begin{eqnarray*} \{v_1\} \end{eqnarray*}$ zu einer O.Basis und nehme jeweils die orthogonalen Komponenten der anderen Basisvektoren hinzu (Gram-Schmidt-Verfahren).

Grüße Abakus smile

02.04.2006, 22:47

Mazze

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Zitat:

mit dem standard inneren produkt:

Das heißt wohl Du hast Koordinatenvektoren? Dann würde ich einfach die Basis B als Matrix schreiben, dann benutzen das ein Endomorphismus f unitär ist genau dann wenn er eine unitäre Matrixdarstellung F besitzt. Dann einfach

F*B rechnen und Determinantenmultiplikationssatz benutzen. Fertig.

03.04.2006, 23:42

donkarabelas

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ich denke mit dem gram-schmidt-verfahren ist man am besten bedient, weil dann der widerspruch sofort folgt.

04.04.2006, 01:50

Ace Piet

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RE: Unitäre Abbildung + Basis
Zunge

unkomplizierter Vorschlag...

Die Bilder der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ sind die $\begin{eqnarray*} A v_i \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft einer Abb.: $\begin{eqnarray*} A^HA=A A^H=E \end{eqnarray*}$

Ergo besagt (die Anfrage der lin.Unabhängigkt. der Bilder)...
$\begin{eqnarray*} \vec 0 &=& \ldots + \mu_i A v_i + \ldots \Leftrightarrow \\ \vec 0 &=& A^H \cdot (\ldots + \mu_i A v_i + \ldots ) = \ldots + \mu_i v_i + \ldots \end{eqnarray*}$
...die lin. Unabhängigkeit der Urbilder und bei genauerem Hinsehen ( $\begin{eqnarray*} \vec 0 \end{eqnarray*}$ Austausch gg. $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ im obigen 2-Zeiler) für $\begin{eqnarray*} x= \ldots + \mu_i v_i + \ldots \end{eqnarray*}$ auch die "Erzeugung" von V. *fertisch*

Wink

-Ace- (mein Vorschlag ohne jegl. Gram)
________________________

(Edits mit Ref. an Ben)

1. Kronecker rasiert... $\begin{eqnarray*} (\delta_{ij}) := E_n =: E \end{eqnarray*}$
2. T durch H (hermitesch adjungiert) ersetzt (erspart Querstriche)
3. Die "Erzeugungserklärung" bleibt, zumal per endl. Erzeugung die Dinge für unendl.dim VR gültig bleiben...

(Erklärung)
4. $\begin{eqnarray*} \overline{A}^T := A^H \end{eqnarray*}$ per komp.weises $\begin{eqnarray*} (\overline{a_{ij}}) := Re({a_{ij}}) -i \cdot Im({a_{ij}}) \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} {a_{ij}} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$
5. JETZT ist der Beweis lang und *scheiße*

(Entschuldigung)
Auch hier wollte ich niemanden kränken.

04.04.2006, 02:07

Ben Sisko

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RE: Unitäre Abbildung + Basis
Hallo Ace,

sieht in Ordnung aus (bis auf s.u.), sehe jedenfalls keinen Haken. Abakus wollte aber vermutlich donkarabelas' eingeschlagenen Weg "zum Erfolg führen".

Zitat:

Original von Ace Piet
$\begin{eqnarray*} A^TA=A A^T=\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

Warum so kompliziert? Schreib doch einfach die Einheitsmatrix hin. SO müsstest du aus dem Kronecker-Delta noch eine Matrix machen. Wie's jetzt da steht, ist's formal falsch.

Da der Begriff unitär benutzt wird, befinden wir uns wohl im Komplexen, daher musst du die Transponierte noch komplex konjugieren.

Erzeugung braucht man eigentlich nicht mehr, Basis folgt einfach wegen der Anzahl und lin. Unabh.

Gruß vom Ben

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