stammfunktion (3x-1)/(x²+x+2)

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LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »
stammfunktion (3x-1)/(x²+x+2)
Moin!

ich soll eine Funktion integrieren:

(5x²+4x+3)/(x³+2x²+3x+2)

Durch partialbruchzerlegung habe ich das ganze schon überschaubar gemacht. Ich bekomme auch nur den letzten Partialbruch nicht integriert. Er lautet:

(3x-1)/(x²+x+2)

Ich habs schon mir partieller Integration und substitution versucht, dennoch komme ich auf keine Vereinfachung, von der ich ohne weiteres die Stammfunktion durch grundintegrale lösen kann.

Könnte mir da jemand behilflich sein?

Noch eine Frage. Kann es sein, das man substitution nur anwenden kann, wenn sich dann etwas herauskürzt, also das die Variable, die man substituiert hat (zB x) nicht mehr im Integral vorkommt?

Danke.

LarsB.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »




Beim Integrieren jetzt geeignet substituieren.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stammfunktion (3x-1)/(x²+x+2)
OK, dann kann ich meinen Beitrag ja sparen Gott

Du kannst aber auch in einer größeren Formelsammlung nachschlagen, da ist dieses Integral hoffentlich als Grundintegral angegeben:

für b>1/4.

Zitat:

Kann es sein, das man substitution nur anwenden kann, wenn sich dann etwas herauskürzt, also das die Variable, die man substituiert hat (zB x) nicht mehr im Integral vorkommt?


Es ist von Vorteil, wenn sich die Ableitung der Substitution mit einer vorhandenen Variablen rauskürzt, da sie ja das x noch enthält. Wenn das nicht so ist, dann musst du halt das x noch durch die substituierte Variable ausdrücken.

Zum Beispiel ist diese Substition sehr hübsch:


Substituieren ist eine Kunst smile

Gruss,
SirJective
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold
Hui, das sieht aber ganz schön kompliziert aus. Mein Ansatz war folgender:





Und jetzt dachte ich, ich könnte irgendwie umformen, das ich X herauskürzen kann.

Geht das nicht irgendwie einfacher als wie Du es vorgeschlagen hast?

Danke!

LarsB.
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Sirjective!

Hab mal kurz im Bartsch nachgeschaut. Da hab ich dieses Grundintegral so auf die Schnelle nicht gefunden. Sonst steht da ja eigentlich alles drin.
Ich werds mal mit deinem Grundintegral versuchen, danke.

Zu meiner Frage mit der Substitution und dem kürzen:
Hab ich jetzt verstanden. Stimmt, substituieren ist wirklich eine Kunst Gott

Bei Deinem Beispiel mit cos² *sin ist ja auch einfach geschickt substituiert, damit das sinx später herausfällt..
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, daß es, vielleicht von kosmetischen Dingen abgesehen, einfacher geht.
 
 
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich warte einfach ab was die Frau Professorin in der Vorlesung macht Augenzwinkern

Wenn es interssiert kann ich die vorgeschlagenen Lösung ja hier posten.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Geht das nicht irgendwie einfacher als wie Du es vorgeschlagen hast?


Nicht viel. Jedenfalls nicht, wenn man selbst drauf kommen muss.
Leopolds Umformung legt eine lineare Substition nahe.
Die folgende springt einem fast ins Auge, sie führt dich direkt von 1/(x^2+x+2) zu einem einfacheren Term 1/(u^2 + 1):

oder umgeformt


Leider hab ich gerade keine Formelsammlung zur Hand, hab aber ein anderes Buch (einen "Mathematik-Ratgeber"), in dem sie allgemeiner steht:



Sogar mit Herleitung: Man substituiere .
Also tatsächlich eine Verallgemeinerung dessen, was Leopold für diese Aufgabe vorgeschlagen hat.

Der vorgesehene Lösungsweg ist sicher auch interessant.

Gruss,
SirJective
LarsB. Auf diesen Beitrag antworten »

Hi zusammen!

So, hatte heute Vorlesung.
Sirjective, du hattest Recht. Es war vorgesehen bzw. empfophlen das Integral mittels der "Elementaren Formel" zu lösen,die du oben genannt hat. Also die, die in keiner guten Formelsammlung fehlen sollte.

Gruß Lars
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