Punktsymmetrie zu beliebigem Punkt

03.04.2006, 13:36

Leon3

Punktsymmetrie zu beliebigem Punkt

Hi!

Punktsymmetrie zum Urspung ist klar: f(-x)=-f(x)

Nun habe ich hier allerdings eine Funktionsschar(t), dessen Graphen alle punktsymmetrisch zu P(0|4-2,5t) sind. Ich soll das jetzt beweisen. Wie mache ich das?

Mein Ansatz war: f(-x)-(4-2,5t)=-f(x)-(4-2,5t)
Scheint allerdings falsch zu sein..

Wer die Funktion will: 4-((5t)/((e^2x)+1))
P(0|4-2,5t) ist Wendepunkt

PS: Ich habe erst selbst versucht, dann hier und da rumgeblaettert, in diesem Forum Suchfunktion genutzt, nochmal probiert... und jetzt wende ich mich an euch Augenzwinkern

Ne allgeime Formel reicht mir eigentlich, aber wenn jemand das vorrechnen will gerne smile

03.04.2006, 13:44

sqrt(2)

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RE: Punktsymmetrie zu beliebigem Punkt

Zitat:

Original von Leon3
Mein Ansatz war: f(-x)-(4-2,5t)=-f(x)-(4-2,5t)
Scheint allerdings falsch zu sein..

Ist er auch; wenn du auf beiden Seiten [latex[4-2,5t[/latex] addierst, erhältst du auch wieder die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung.

$\begin{eqnarray*} f(x)-(4-2.5t)=-(f(-x)-(4-2.5t)) \end{eqnarray*}$

ist besser.

03.04.2006, 18:56

Leon3

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Hm... komm trotzdem auf keine wahre Aussage. Das liegt daran, dass es auf der einen Seite in Nenner dann e^2x heißt und auf der anderen e^-2x

Weiß mir keinen Rat

03.04.2006, 19:20

Abakus

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Ich werf mal einen Blick auf den Graph (t=1 gesetzt):

Dem Graphen sieht man die Punktsymmetrie an. Zeige bitte einmal, was du gerechnet hast bzw. bis wohin du gekommen bist.

Grüße Abakus smile

03.04.2006, 20:05

marci_

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oder versuche es mit koordinatentransformation..leg ein neues koordinatensystem in den zu untersuchenden punkt hinein:
x=u+/-
y=v+/-

danach kannst du wie immer untersuchen...

03.04.2006, 21:53

Leon3

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danke schonmal dass ihr euch damit beschaeftigt smile

$\begin{eqnarray*} ft(x)=4-\frac{5t}{e^{2x}+1} \end{eqnarray*}$

Weisen Sie nach, dass alle Kurven der Schar Punktsymmetrisch zum Wendepunkt sind.

1. Ableitung: $\begin{eqnarray*} ft'(x)=\frac{10t*e^{2x}}{(e^{2x}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

2. Ableitung: $\begin{eqnarray*} ft''(x)=\frac{20t*e^{2x}*((e^{2x}+1)-2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ft''(x)=0 \end{eqnarray*}$ gesetzt:

--> $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ft(0)=4-2.5t \end{eqnarray*}$

Und jetzt muss der Nachweis folgen smile

03.04.2006, 23:28

Abakus

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Ich hab nicht nachgerechnet, aber der Wendepunkt stimmt. Jetzt benutze den Ansatz von sqrt(2) am Besten oder zeige einfach, was du bisher gerechnet hast.

Grüße Abakus smile

04.04.2006, 09:48

Leon3

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$\begin{eqnarray*} 4-\frac{5t}{e^{2x}+1}-4+2.5t=-4+\frac{5t}{e^{-2x}+1}+4-2.5t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{5t}{e^{2x}+1}+2.5t=\frac{5t}{e^{-2x}+1}-2.5t \end{eqnarray*}$

das kann man unter Umständen noch weiter umformen/vereinfachen, aber ich kann mir einfach nicht vorstellen wie ich die unterschiedlichen Potenzen loswerde

$\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ auf der linken, und $\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite...

04.04.2006, 09:57

sqrt(2)

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Du musst sie gar nicht loswerden, nur auf eine wahre Aussage kommen. Multipliziere die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} (e^{2x}+1)(e^{-2x}+1) \end{eqnarray*}$ , fasse zusammen, teile durch $\begin{eqnarray*} 5t \end{eqnarray*}$ .

04.04.2006, 10:57

Leon3

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also... tut mir Leid.. wenn ichs so mache wie du sagst, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} -1+0.5(e^{2x}+1)=1-0.5(e^{-2x}+1) \end{eqnarray*}$

04.04.2006, 11:04

sqrt(2)

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Du hast dich irgendwo verrechnet, poste mal deinen Rechenweg.

04.04.2006, 11:41

Leon3

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$\begin{eqnarray*} -\frac{5t*(e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1)}{e^{2x}+1}+2.5t*(e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1)=\frac{5t*(e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1)}{e^{-2x}+1}-2.5t*(e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5t*(e^{-2x}+1)+2.5t*(e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1)=5t*(e^{2x}+1)-2.5t*(e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5t*(e^{-2x}+1)+5t*(e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1)=5t*(e^{2x}+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(e^{-2x}+1)+(e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1)=(e^{2x}+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^{2x}+1)*(e^{-2x}+1)=(e^{2x}+1)-(e^{-2x}+1) \end{eqnarray*}$

Ok, vorhin´hab ich was falsch gemacht, aber so muss es stimmen, und auch jetzt weiß ich nicht weiter smile

)

04.04.2006, 11:47

sqrt(2)

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In der letzten Zeile muss rechts ein Plus statt einem Minus stehen. Wenn du dann links ausmultiplizierst, erhältst du das, was rechts steht.

04.04.2006, 12:00

Leon3

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Tatsächlich smile

Besten Dank!

Eines noch: kann man statt $\begin{eqnarray*} f(x)-(4-2.5t)=-(f(-x)-(4-2.5t) \end{eqnarray*}$ auch genausogut $\begin{eqnarray*} f(-x)-(4-2.5t)=-(f(x)-(4-2.5t) \end{eqnarray*}$ schreiben?

04.04.2006, 12:04

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Leon3
kann man statt $\begin{eqnarray*} f(x)-(4-2.5t)=-(f(-x)-(4-2.5t) \end{eqnarray*}$ auch genausogut $\begin{eqnarray*} f(-x)-(4-2.5t)=-(f(x)-(4-2.5t) \end{eqnarray*}$ schreiben?

Klar -- stell dir einfach am Graphen vor, was du mit dieser Bedingung überprüfst. (Oder du multiplizierst die Bedingung einfach mit -1 und vergleichst mit der anderen...)

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