wie viele spiele ausmachen, um zu gewinnen?

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lego Auf diesen Beitrag antworten »
wie viele spiele ausmachen, um zu gewinnen?
so, schon wieder ein topic bei dem ich etwas daneben stehe:

zwei spieler A,B spielen ein turnier von n spielen, wobei A mit wahrscheinlichkeit p<1/2 gewinnt. wer mehr als die hälfte aller spiele gewinnt, hat den gesamtsieg.
A darf sich die anzahl n aussuchen, wobei n gerade sein soll.
welche anzahl n soll A (in abhängigkeit von p) wählen, um eine möglichst hohe wahrscheinlichkeit für den gesamtsieg zu erzielen.

ich bin das problem so angegangen, ich nehme n=2k an, weil n gerade sein soll

W(dass A k+1 oder mehr spiele gewinnt)=

und das soll maximal werden, stimmt das so?
The Rob Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wie viele spiele ausmachen, um zu gewinnen?
auf den ersten blick, glaube ich, dass die wahrscheinlickeit fuer einen sieg fuer A bei 2 spielen am hoechsten ist... da muesste er naehmlich 2 mal gewinnen. die wahrscheinlichkeit, dass A 2 mal hintereinander gewinnt ist kleiner 1/2...
je groesser die anzahl von spielen wird, wird auch die wahrscheinlichkeit immer kleiner...
angenommen die wahrscheinlichkeit fuer einen sieg fuer A in einem spiel sei |
wenn man nun die anzahld er spiele multipliziert wird logischer weise die wahrscheinlich auch multipliziert somit wird die wahrscheinlichkeit immer kleiner...
so sind meine ueberlegungen...
die kommen mir aber eigentlich zu einfach vor... verwirrt
 
 
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich weiß nicht vielleicht kann es sein, dass er eher 3 von 4 gewinnt als 2 von 2

is eben von p abhängig
The Rob Auf diesen Beitrag antworten »

ich wuerde mich ueber groessere beteilung andere mathegenies an diesem problem freuen, da ich gerne wuesste, ob meine ueberlegungen nun richtig oder falsch sind...
lego Auf diesen Beitrag antworten »

und für mich wärs auch hilfreich^^
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist nicht so einfach zu beantworten, wie folgende Kurven für die Gewinnwahrscheinlichkeit bei 2 Spielen (rot), 4 Spielen (grün) und 6 Spielen (blau) zeigen:

lego Auf diesen Beitrag antworten »

mit welcher wahrscheinlichkeit p hast du hier konkret gerechnet arthur?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Von 0 bis 0.5, das ist die x-Achse !!!
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ach, jetzt seh ichs erst, aber was drückt die y-achse aus, und wie steht das im verhältnis zu n?

oder beziehst du dich momentan nur auf robs vermutung?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die y-Achse ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für A - was sonst.


Ich hab inzwischen ein bisschen gerechnet: Sei die Wahrscheinlichkeit, dass A mindestens von Einzelspielen gewinnt, mithin dann die Gesamtpartie.

Dann kann man nachweisen:

Insofern ist genau dann optimal, falls .

(*) muss natürlich noch nachgewiesen werden. smile
lego Auf diesen Beitrag antworten »

und dort wo der stern ist, ist meine formel einzusetzen und nachzurechnen?

stimmt die überhaupt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sie stimmt zwar, aber die Äquivalenzumformung (*) unter Einsatz der Binomialsumme kann leicht zu einer haarsträubenden Sache ausarten, aber es ist möglich.

Einfacher und übersichtlicher ist vielleicht folgende Betrachtungsweise: Sei die 0-1-Zufallsgröße, die den Ausgang des j-ten Spieles beschreibt, d.h. . Dann ist die Anzahl der gewonnenen Spiele, diese Größe ist -verteilt. Nun kann man aber durch Nutzung der Summendarstellung zunächst wie folgt rechnen:



Das ist schon mehr als die halbe Miete, den Rest überlass ich dir...
lego Auf diesen Beitrag antworten »

wow, danke für den enormen aufwand. dass das so eine geschichte wird, habe ich nciht erwartet. ich fürchte, das wird ein wenig dauern, bis ich da ganz durchgeblickt habe, das wird heute bestimmt nichts mehr.

ich gehe mal schlafen, und sehe morgen weiter

n8 Schläfer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht geht's auch viel einfacher, aber dafür bin ich dann vielleicht zu müde. Augenzwinkern

Gute N8
lego Auf diesen Beitrag antworten »

unser professor in stochastik hat sich breitschlagen lassen, das beispiel selber zu rechnen

er kommt auf das selbe ergebnis wie du, nur ohne untere schranke.

er hats mit den summen und den binomialkoeffizienten gemacht, bei interesse post ichs rein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Kann nicht sein, die untere Schranke bei Formulierung des optimalen n ist essentiell! Vielleicht hat er es nur nach n umgestellt, und du hast das verwechselt:

Optimal:
lego Auf diesen Beitrag antworten »

also das k ist das k, das ich im ersten post schon verwendet habe, also die hälfte der spiele

dann hat unser prof rausbekommen:

sei k_0 die größte lösung dieser gleichung dann solllte A 2(k_0+1) spiele spielen.

bei zb. p=0,4 wäre k_0=1, weil für k=2 ist nicht mehr stirkt kleiner als p

somit sollte A 2(1+1) spiele spielen also 4
AD Auf diesen Beitrag antworten »

In den Grenzpunkten sind beide Anzahlen optimal. D.h. für p=0.4 sind sowohl 4 als auch 6 Spiele optimal, weil die Gewinnwahrscheinlichkeiten für beide Anzahlen gleich sind.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe nur wiedergegeben, was er heute gemacht hat, dass es aber eine untere schranke geben müsste galube ich auch

aber aus der umformung, die wir durchgeführt haben, müsste das schon strikt > sein

naja für n=4 und n=6 bei p=0,4 kann mans ja leicht nachrechnen, ich machs mal.

ok, ich habe beide male 0,1792, also wirklich beide
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Poste ruhig mal die Summenlösung. Meine oben sieht nur wegen der P(...)-Konstrukte textmäßig lang aus, die Rechnerei hält sich aber durchaus sehr in Grenzen und kommt ohne große Tricks aus.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ja mach ich, sobald ich heute zeit dazu habe, is etwas länger
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