integral (1/(cos x)^2)

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shok Auf diesen Beitrag antworten »
integral (1/(cos x)^2)
hey leute...
hab mal wieder ein frage
[latex]
\int_{}^{}~(1/(cos (x)^2)~dx
[\latex]
ich weiß zwar, dass da tangens rauskommen muss. weil das ja die ableitung vom tangans ist...aber ich wollte auch mathematisch draufkommen

habs mit substituieren probiert:
t = (cos x)^2
dx=-2 cosx*sinx

bringt mich ja auch nicht weiter, da ich jetzt unter dem integrall t und x hätte

habs dann mit partieller integration probiert:

f(x)=(cos x) ^-1 g'(x)=(cos x)^-1
f'(x)=-(cos x)^-2 g(x)= ln(cos x)*???

ja weiß nicht ob mich das irgendwie weiterbringt...

kann mir einer sagen, wie ich das problem lösen kann?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ersetze mal die 1 im Zähler durch sin²(x)+cos²(x) (trigonometrischer Pythagoras) und mache 2 Bruchterme aus dem einen. Vielleicht klappts damit besser.

Gruß Björn
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: integral (1/(cos x)^2)
Zitat:
Original von shok
ich weiß zwar, dass da tangens rauskommen muss. weil das ja die ableitung vom tangans ist...aber ich wollte auch mathematisch draufkommen


Was die Leute immer nur wollen! unglücklich
Was ist "mathematischer", als in etwas die Umkehrung eines anderen zu erkennen?

Du hast die Aufgabe damit bereits gelöst. Alles Weitere ist unnötig - und jeder irgendwie geartete Kalkül wird in irgendeiner Form wieder auf diesen Sachverhalt hinauslaufen ...
puerquito Auf diesen Beitrag antworten »

versuche es mal mit Hilfe einer Taylorreihe. ersetze die Funktion durch ein Taylor-Polynom, dann kannst du die Funktion ganz normal integrieren. dazu musst du eine McLaurin-Reihe "also Taylor-Reihe für den Entwicklungspunkt 0" für cos(x) aufstellen und diese dann durch deine Funktion substiutuieren. Viel Erfolg! Freude
puerquito Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Ersetze mal die 1 im Zähler durch sin²(x)+cos²(x) (trigonometrischer Pythagoras) und mache 2 Bruchterme aus dem einen. Vielleicht klappts damit besser.

Gruß Björn


das Problem an deiner Methode ist, dass er dann einen Ausdruck mit (tanx)^2 bekommt. und dann steht er vor dem Problem "wie bestimme ich das Integral von tan^2"
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Potenzreihe ist besser? Also sorry, aber die macht ja nun wirklich gar keinen Sinn. Da muss man erstmal ne Potenzreihendivision durchführen, dann soll man die integrieren und dann weiß man immer noch nicht, was rauskommt, weil man die Summe der entstehenden Potenzreihe ganz sicher nicht sieht.

@shok
Wenn du es unbedingt durch eine "Intregrationsregel" machen willst, dann substituiere halt . Das ist aber nichts anderes als das, was Leopold auch schon sagte. Wenn man schon weiß, was rauskommt, ist es eben sinnlos, sich noch krampfhaft irgendeinen Weg zurechtzulegen, der doch nur darauf hinausläuft, was man schon weiß.
 
 
puerquito Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Aber die Potenzreihe ist besser? Also sorry, aber die macht ja nun wirklich gar keinen Sinn. Da muss man erstmal ne Potenzreihendivision durchführen, dann soll man die integrieren und dann weiß man immer noch nicht, was rauskommt, weil man die Summe der entstehenden Potenzreihe ganz sicher nicht sieht.

@shok
Wenn du es unbedingt durch eine "Intregrationsregel" machen willst, dann substituiere halt . Das ist aber nichts anderes als das, was Leopold auch schon sagte. Wenn man schon weiß, was rauskommt, ist es eben sinnlos, sich noch krampfhaft irgendeinen Weg zurechtzulegen, der doch nur darauf hinausläuft, was man schon weiß.


dann wird es nach der Substitution eben heißen:



und dann viel Spaß beim Ableiten. mal davon abgesehen, dass der Ausdruck danach auch nicht einfacher wird. im Gegenteil... meiner Meinung nach ist ein Taylorpolynom die vernünftigste Methode um das zu lösen, ohne die Integraltafel zu benutzen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

.
puerquito Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
.


ja, das habe ich auch schon versucht, geht aber nicht. besser ist es glaube so:



weiter bin ich nicht gekommen. habe es auch schon mit der Partialbruchzerlegung versucht. aber irgendwie klappt es nicht so ganz. verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

puerquito Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi


DANKE! Jetzt seh ich das auch! Freude
shok Auf diesen Beitrag antworten »

hallo erstmal danke, dass ihr so zahlreich geantwortet habt...
bloß kann mir jemand die letzten beiden schritte von webfritzi erklären?
blick da nicht so ganz durch...
also ich hab jetzt das erstmal so gemacht, dass ich gezeigt habe, dass
die ableitung von tan(x)= 1/(cos²(x))
würde das zur not auch gehen?
hxh Auf diesen Beitrag antworten »



so klarer ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von shok
also ich hab jetzt das erstmal so gemacht, dass ich gezeigt habe, dass
die ableitung von tan(x)= 1/(cos²(x))
würde das zur not auch gehen?

Nach dem Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung ist das völlig korrekt. Wie du zu einer Lösung kommst, ob mit Substitution, partieller Integration oder einfach genaues hinschauen ist irrelevant. Solange du eine Stammfunktion findest, hast du die Aufgabe gelöst.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von puerquito
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
.


ja, das habe ich auch schon versucht, geht aber nicht.

Das geht sehr gut. Mit dieser Subsitution ist nämlich

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei in einem geeigneten Intervall eine Stammfunktion von . Führen wir also im Integral



die Substitution



durch, so folgt



Das ist Kalkül um des Kalküls willen, nämlich nichts anderes als die Trivialität



Was ich in meinem ersten Beitrag schon befürchtete, ist eingetreten:



Der Kalkül bestätigt nachträglich, was man von vorneherein schon wußte. Man wählt genau das längst bekannte Ergebnis als Substitution.

Man könnte das mit dem folgenden Vorgehen in der elementaren Algebra vergleichen. Um die furchtbar schwierige Gleichung



zu lösen, führt man die Substitution durch:









Hurra! Ein Nullprodukt! Da haben wir doch etwas darüber gelernt:



Und jetzt wird resubstituiert:



Die beiden linearen Gleichungen liefern dank der genialen Idee mit dem Nullprodukt die Lösungen und . Na so was!
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