Grenzwert mit zwei Variablen

04.04.2006, 10:56

Sunwater

Grenzwert mit zwei Variablen

Hi...

ich soll zeigen, dass eine Funktion f(x,y) im Punkt (0,0) nicht stetig ist.
Im Punkt (0,0) ist f(x,y) = 1 ansonsten ist

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0, y \to 0} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

Hab aber noch nie nen Limes mit zwei Variablen berechnet - hier erstmal meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{x \sqrt{x^2 + y^2}}{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ ergibt das 0 für $\begin{eqnarray*} y \to 0 \end{eqnarray*}$ ergibt das 0 - also ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0, y \to 0} f(x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$

kann man so argumentieren?

04.04.2006, 11:24

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit zwei Variablen
Welche Stetigkeitsdefinition habe ihr denn für Funktionen von R² --> R ?

PS: Thema gehört eher in Höma.

04.04.2006, 11:37

Sunwater

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noch gar keine - aber der Prof meinte, das kommt Freitag dran.
Wir hatten bis jetzt folgende Definitionen:

Sei $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$
f heißt stetig in x_0, falls es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ >0 ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt mit:
$\begin{eqnarray*} d_w(f(x),f(x_o)) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle x mit $\begin{eqnarray*} d_v(x,x_0) \leq \delta \end{eqnarray*}$ wobei d die jeweilige Abstandsfunktion des Raumes ist.

oder wir hatten es über Folgen definiert:

f ist in x_0 stetig, genau dann wenn für jede Folge {x_n} mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

also meinst du das kann ich erst, wenn ich den Stetigkeitsbegriff für beliebige Räume kenne?

04.04.2006, 11:41

Dual Space

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RE: Grenzwert mit zwei Variablen

Zitat:

Original von klarsoweit
PS: Thema gehört eher in Höma.

Na dann hin damit *verschoben*

04.04.2006, 13:48

mathemaduenn

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Hallo Sunwater,
Um zu sehen das die Funktion in (0,0) doch stetig ist würd ich mal eine Koordinatentransformation in Polarkoordinaten machen.
[edit]
Huch das stimmt ja gar nicht.
Neuer Versuch über Folgenstetigkeit:
Betrachte die Folge
(0,1/n)
viele Grüße
mathemaduenn

04.04.2006, 14:08

Sunwater

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heißt also ich soll einen Wert als Konstante ansehen und den anderen den laufen lassen - und dann hab ich beide Koordinaten - richtig?

04.04.2006, 14:18

mathemaduenn

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Hallo sunwater,
In deiner 2. Definition steht etwas von "jede Folge", Wenn Du also eine findest für die das nicht gilt bist Du fertig. Deine anfängliche Argumentation über Grenzwerte stimmt übrigens nicht - Es existiert hier kein Grenzwert. Dazu kannst Du ja die folge (1/n,0) betrachten.
viele Grüße
mathemaduenn

04.04.2006, 14:55

Sunwater

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also mal so wie ich es jetzt verstanden habe:

für $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{eqnarray*}$ ist:

wenn ich mir eine Folge nehme mit: $\begin{eqnarray*} x_n = (\frac{1}{n},0) \to (0,0) \end{eqnarray*}$ dann ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} f(\frac{1}{n},0) = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{(\sqrt{\frac{1}{n}})^2}=\lim_{n \to \infty} 1 = 1 \end{eqnarray*}$ ? - dann wäre es ja doch stetig, wenn f(0,0) = 1 ist?! - oder darf ich nicht einfach kürzen?

04.04.2006, 15:25

mathemaduenn

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Hallo sunwater,
Deine Rechnung ist durchaus richtig. Aber dies wäre eben nur eine Folge es soll aber für jede gelten. Was kommt also für (0,1/n) raus?
viele Grüße
mathemaduenn

05.04.2006, 10:06

kara_mela

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Ich hab die gleiche Aufgabe und ich würde vier gleichungen aufstellen, also (1/n, 1/n), (1/n, -1/n), (-1/n, -1/n), (-1/n, 1/n) und die Ergebnisse dann mit f(0,0) vergleichen.
Da kommt dann entweder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ , also ungleich 1, also unstetig in (0,0)
Kann man das so machen oder hab ich da nen Denkfehler?

--- Doppelpost zusammengefügt. Bitte "Edit" verwenden! ---

Die Aufgabe hat noch einen zweiten Teil und da weiß ich net so recht, wie ich da rangheen soll.
Also die Funktion bleibt die gleiche, die soll jetzt aber auf M angewandt werden. M ={(x,y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R² | x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0, -x² $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ y $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x²
Muss ich da jetz x uny in Abhängigkeit voneinander bringen, in die Funktion einsetzen und dann wie im ersten Teil weitermachen? Oder gibt es da einen sinnvolleren Weg?

05.04.2006, 19:57

Sunwater

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ich hab die Aufgabe jetzt geschafft... - bist wahrscheinlich auch Leipzigerin bei Günther?
Jedenfalls zeichne dir mal M in ein Koordinatensystem.
Es wird ja noch oben begrenzt durch die Funktion f(x) = x² und nach unten durch f(x) = -x².
Wenn du jetzt für y die obere Grenze nimmst, also y=x², dann ergibt sich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = f(x,x^2)=... \end{eqnarray*}$ - wenn du jetzt x gegen Null laufen lässt bekommst du einen Grenzwert.

Das gleiche machst du mit y= -x². Du bekommst den gleichen Grenzwert heraus.

Jetzt musst du dir noch überlegen warum jede Funktion, die in diesem Bereich ist den gleichen Grenzwert haben muss, wenn sie gegen Null läuft und du bist fertig.

hoffe ich konnte dir etwas helfen - aber musst ja noch ein bisschen selber denken!

mfg - Sunwater

06.04.2006, 08:51

Sunwater

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übrigens, für $\begin{eqnarray*} f(0,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n},0) \end{eqnarray*}$ kommt beide male 1 raus!

06.04.2006, 09:19

klarsoweit

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Hmm?

Was ist denn f(0, 1/n) ?

06.04.2006, 09:36

mathemaduenn

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Hallo sunwater,

Zitat:

Original von Sunwater
übrigens, für $\begin{eqnarray*} f(0,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n},0) \end{eqnarray*}$ kommt beide male 1 raus!

Falls Du die Grenzwerte meinst dann würde ich das mal bestreiten.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} f(0,\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty}\frac{0}{(\sqrt{\frac{1}{n}})^2}=\lim_{n \to \infty} n*0 =0 \end{eqnarray*}$
viele Grüße
mathemaduenn

06.04.2006, 20:14

Sunwater

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ja stimmt... - hab mich verrechnet

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