Lineare Abhänigkeit von drei Vektoren

Neue Frage »

Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhänigkeit von drei Vektoren
Gegeben seien die vektoren

a) Zeigen dass die drei Vektroen linear abhänig sind.


also hab ich angesetzt:



Und dann die Determinante bestimmt:



aber daraus folgt doch dann das die Linear unabhänig sind oder täusch ich mich da ?
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu!

Ne, Determinante gleich Null bedeutet ja, dass das Gleichungssystem nicht keine eindeutige Lösung hat. Wenn die ungleich 0 ist, dann gibt es eine eindeutige Lösung und bei einen Homogenen Gleichungssystem ist das dann gerade die mit x1=x2=x3=0, was dir dann die lineare Unabhängigkeit gibt.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

ok. ja stimmt, das war nen denkfehler von mit.
\\edit: noch eine frage dazu: muss ich denn, um die Abhänigkeit nachzuweisen das LGS lösen, oder reicht die Det. ?

Wenn ich jetzt noch einen vierten Vektor d so wählen soll, das er nicht darstellbar ist durch a,b und c, wie gehen ich dann an so eine Aufgabe ran ? Ohne eine Weitere gleichung hab ich dann doch eine LGS mit 3 gleichungen und insgesamt 4 unbekannten, was nicht eindeutig lösbar ist.
ich vermute dass es damit zusammenhängt, dass der vektor so lang sein kann wie er will, aber wie würde das aussehn ?

danke dir schonmal für die Hilfe!

servus
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Determinante reicht um die lineare Abhängigkeit von Vektoren zu überprüfen. Stelle dir dabei die Determinante immer als das Volumen des Spatprodukts vor! Wann ist das wohl null? Augenzwinkern

Zitat:
Wenn ich jetzt noch einen vierten Vektor d so wählen soll, das er nicht darstellbar ist durch a,b und c,


spricht du vom 3-dimensionalen Raum? In welcher Beziehung liegen denn a b und c zu einander? Wenn die l.u. sind, geht die Aufgabe ja gar nicht Augenzwinkern

aRo

PS. Wieso in Algebra? Lieber verschieben nach Geo, oder?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich rede noch vom 3 Dimensionalen.

Die Aufgabe mit dem vierten Vektor lautet folgendermaßen:

b) Gib einen Vektor des an, der nicht als Linearkombination von , , dargestellt werden kann.

a,b und c sind abhänig, das hab ich jetzt auch schon rausgefunden.

ausserdem sehe ich grad das ist. traurig

das bei l.u. diese weiterführende Aufgabe nicht gehen würde, hat mich auch sehr gewundert! ^^

doch wie komme ich dann auf ?
Tipps ?

servus


\\edit: ich weiss ned .. ist das eher Lineare Algebra oder eher Analytische Geometrie ?
ich weiss es ned...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

den vierten vektor zu finden ist nicht schwer; c=2a+2b => {a,b} spannen schon den ganzen Raum auf; ergänze {a,b} zu einer Basis des IR^3

wie?
a) gut raten [gut machbar]
b) vereinfache die Basis erst und rate dann gut


ist gut in Algebra
 
 
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin grad auch etwas verwirrt... verwirrt

also ich würde mir das gerade anschaulich so vorstellen, dass deine drei Vektoren in einer Ebene liegen (sie müssen komplanar sein! geht sonst gar nicht). Und du jetzt einen Vektor finden musst, der nicht in dieser Ebene liegt, dadurch muss dann zwingend ein linear abhängiges System entstehen.


aber wie gesagt, ich weiß es im Moment selbst nicht so genau, wie ich das rechnen würde, sry.

aRo
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Oder:

c) nehm einfach als Basis , und , hat den Vorteil dass mans einfach innen Taschenrechner eingeben kann und nicht weiter selbst rechnen muss Augenzwinkern

@aRo: Jo so wie du dir das vorstellst ist das schon richtig. Der gesucht Vektor darf einfach nur nicht in der aufgespannten Ebene liegen. Und weils von solchen Vektoren ganz viele gibt, gibt es bestimmt auch ganz viele Möglichkeiten so einen zu bestimmen ^^
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mein bayrischer Taschenrechner weigert sich konsequent sowas zu rechnen ... von daher müsste ich da mit der Hand ran Augenzwinkern

Ich versuche grad deinen Tipp a) @jochen, aber ich weiss nicht in weche Richtung genau ich raten soll.. *hilflos*

Schubst mich mal bitte jemand an ?
*gg*

danke euch drei bisher!

\\edit: das mit der Ebene ist mir schon auch klar, aber ich weiss nicht was ich damit anfangen soll, bzw in welche richtung d abstehen soll..
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich betrachet nur a,b, was nicht von a,b dargestellt werden kann, wirds von a,b,c auch nicht

systematisch raten schaue ich erst mal nach Nullern.
hier hat a eine 0, in der selben Komponente hat b keine
wenn ich also meinem neuen Vektor da auch ne 0 gebe, muss bei einer LinKomb des Nullvektors 0 vor b stehen. die restlichen Komponenten ergeben sich dann sofort daraus, dass ich nur eine Linearkombination der ersten beiden von a und der ersten beiden des zu erzeugenden Vektors betrachte.
(1/1/0) z.B. passt dann.



Alternativ und immer gut, wenn du das nicht erraten, bzw. wie hier im IR^3 zum Beispiel per Kreuzprodukt bestimmen kannst, oder wenn du mehrere Vektoren ergänzen musst:
vereinfache deien Basis, schreibe sie in die Zeilen einer Matrix und mache Gauß soweit wie möglich. Dabei fallen auch überflüssige Vektoren weg (schreibe also a,b,c in die Matrix, dann ist c am Ende eine Nullzeile).
Deine Zeilen spannen dabei dauernd den gleichen Raum auf.

Hier z.B.:


Gauß fertig und das geübte Auge finde jetzt z.B. sofort (1/0/0)


oder so fort
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es auch gehn, das ich einfach mal behaupte lässt sich nicht darstellen und das nachträglich beweise ?
Kanns dann [falls das stimmt] sein, dass es unendlich viele solche Vektoren gibt ?
denn z.b. geht ja auch, oder nicht ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich gibt es hier unendlich viele Vektoren, es gibt sogar vermutlich mehr als du denkst Augenzwinkern

einen behaupten und beweisen, das ist auch eine Möglichkeit, aber wenn du mal 17 l.u. Vektoren im IR^18 gegeben hast und einen 18 dazu finden sollst, wirst du mit dieser Methode kotzen lernen.
Wenns nämlich nicht passt, war einiges für die Katz (je nachdem, wie du anfängst, sogar alles!)

Ich wollte dir mein Verfahren auch nur nahelegen, weil es das ganze mit Systematik angeht. Im IR^3 geht alles anders....
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

über IR3 kommt man doch eigentlich in der Schule sowieso nicht hinaus, oder? Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
über IR3 kommt man doch eigentlich in der Schule sowieso nicht hinaus, oder? Augenzwinkern

in der Schule kann man eigtnlich auch auf den Gaußalgorithmus verzichten, denn die dort gestellten Gleichungssysteme sind fast alle auch sehr leicht mit anderen Verfahren lösbar.

Ist es aber nicht trotzdem schön, wenn man ein Werkzeug in der Hand hat, mit dem man auch in der Not aus ungewöhnlichen Hämmer Nägel mit Köpfen machen kann? Idee!
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

nagut, dann will ich das nochmal genauer wissen hier Augenzwinkern

Wie genau machst du das mit dem Gauß? Wie vereinfachst du die Basis? Und wieso sind das zwei so komische Klammern? Augenzwinkern

Check das nicht ...

aRo
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

1) die beiden komischen Klammern sind insgesamt 4 normale Hammer
das sind 2 Matrizen

2) schreibst du die Erzeugendenvektoren in die Zeilen und addierst vielfache des einen auf den anderen änderst du das Erzeugnis nicht
genauso wenig, wenn du eine Zeile mit einem Skalar <>0 streckst
[mach dir das klar, ist beides nicht schwer nachzuweisen]

aber genau die bei 2 genannten Schritte kommen im normalen Gauß vor

=> die Zeilen als Vektoren gelesen: vor dem gauß, während dem Gauß, nach dem Gauß, nachm Mittagessen erzeugen immer DAS GLEICHE, das gleiche das gleiche


nochmal ein blödes Beispiel, die Zeilen der folgenden Matrix seien gegeben, du suchst eine einfachere Darstellung von [dem Erzeugnis] und ich wette, du siehst das nicht sofort:



Gauß anwenden [machste man selbst]



Also ist das obige Erzeugnis gleich und damit arbeitet es sich schon viel besser.

Das Beispiel war natürlich auch nicht schwer.




Achja, insbesondere ist auch direkt aufgekommen, dass der dritte Vektor unnötig ist. Das wiederum sieht man HIER fast doch noch so smile .
Aber bei einem größeren Dingens eben nicht mehr.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »