Kugeloberfläche

04.04.2006, 13:22	einstein^^	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeloberfläche Also wir hatten neulich in der Schule diese Aufgabe: Ein Wassertropfen mit einem Durchmesser von 0,5 cm teilt sich in 10 weitere Tropfen auf. Wie ist das Verhältniss zwischen der Oberfläsche des große Tropfens zu der Oberfläsche der kleinen Tropfen? Ich hab auch ne Lösung rausbekommen, aber wir haben alle andere Lösungen raus. Also was kommt da jetzt raus???
04.04.2006, 13:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Unklare Aufgabenstellung. Was ist gesucht? Das Verhältnis der Oberfläche des großen Tropfens zur Oberfläche eines kleinen Tropfens oder das Verhältnis der Oberfläche des großen Tropfens zur Gesamtoberfläche aller kleinen Tropfen? Und was hast du als Ergebnis heraus? (Übrigens ist die Angabe des Durchmessers zur Lösung dieser Aufgabe überflüssig.)
04.04.2006, 13:48	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugeloberfläche irgend etwas in der art: $\begin{eqnarray} \frac{O_{10}}{O_1}=(\frac{r_{10}}{r_1})^{2}=(\frac{V_{10}}{V_1})^{\frac{2}{3}}=(\frac{1}{10})^\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ werner
05.04.2006, 14:05	einstein^^	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugeloberfläche Also es ist das Verhältnis zwischen der Oberfläsche der großen Kugel und aller kleinen Kugel gemeint. Also ich hab raus, dass die Oberfläche der kleinen Kugeln zusammen ca. 2,1 mal gößer ist, als die der großen Kugel.
05.04.2006, 15:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Antwort stimmt. Strenggenommen ist die Oberfläche der kleinen Kugeln $\begin{eqnarray} 10^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ - mal so groß. Verallgemeinerung: Zerlegung des Tropfens in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teiltropfen. Ein kleiner Tropfen geht aus dem großen durch Streckung mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ hervor. Da Rauminhalte den Faktor $\begin{eqnarray} \lambda^3 \end{eqnarray}$ aufnehmen, ein kleiner Tropfen aber den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Teil des Volumens des großen Tropfens hat, folgt: $\begin{eqnarray} \lambda^3 = \frac{1}{n} \ \ \Rightarrow \ \ \lambda = n^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ Flächen nehmen den Faktor $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ auf. Die Oberfläche eines kleinen Tropfens ist daher $\begin{eqnarray} \lambda^2 = n^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ - mal so groß wie die Oberfläche des großen Tropfens. Die Oberfläche aller $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kleinen Tropfen ist folglich $\begin{eqnarray} n \cdot n^{-\frac{2}{3}} = n^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ - mal so groß. Und für $\begin{eqnarray} n=10 \end{eqnarray}$ erhältst du gerade die obigen $\begin{eqnarray} 10^{\frac{1}{3}} \approx 2{,}15 \end{eqnarray}$ .

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