Herleitung von Flächenformel

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phi Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung von Flächenformel
Hallo,

Im Analysis-Forum (siehe hier) tauchte eine intressante Frage auf, wie man die Fläche berechnet die von einer Parameterkurve eingeschlossen ist. Der Fragesteller (Gymnasium ? wunder...) fand in seiner Mitschrift aber nur eine Formel ohne theoretischen Hintergrund.

In meinem Analysis 2 Buch ist das einzigste was in diese Richtung geht, die Herleitung der Keplerschen Flächenformel aus dem Gaußschen Satz in der Ebene .

Formel in der Schule:

Zitat:




Gauß in der Ebene: Sei ein 1-fach zusammenhängendes Gebiet in IR^2 . Dann gilt für jedes Vektorfeld u=(a,b) :



Wenn nun X(t)=(x(t),y(t)) mit t im Intervall [t1, t2] , eine Parametrisierung des Randes ist, dann erhält man



wobei das 2-dim. äußere Produkt definiert ist als





Auf die obige Formel aus der Schule kommt man dann mit dem Vektorfeld u=(a,b)=(x,0) :

.

Meine Frage ist nun, was bedeutet dieses 1-dimensionale Vektorfeld u=(x,0) ?

Vlt. das der Randweg isomorph zu diesem ist...?

mfg, phi smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist diese Vektoranalysis mit ihren tausend Formeln und Unterformeln immer viel zu umständlich gewesen. Ich kann daher dazu auch gar nicht viel sagen. Da hat vor Jahrzehnten Élie Cartan einen wunderbaren Kalkül entworfen, der alles mit einem Schlag erledigt - und immer noch rechnen die Leute mit Divergenz und Rotation und verschiedenen Integralsätzen herum, obwohl sich im Cartanschen Kalkül alle Integralformeln (egal welcher Dimension) einer einzigen Formel unterordnen, dem allgemeinen Integralsatz von Stokes:



Im Kalkül betrachtet man nun speziell die Differentialform



Ihre äußere Ableitung kann nach den Regeln des Kalküls sofort berechnet werden:



Der Satz von Stokes gibt daher



Wenn man das Gebiet positiv orientiert, berechnen die Integrale gerade den Flächeninhalt



Der Rand ist dann natürlich auch positiv orientiert zu durchlaufen. Natürlich muß das Gebiet "genügend schön" sein (einfach zusammenhängend mit stetig differenzierbarem oder zumindest stückweise stetig differenzierbarem Rand usw.).


Ein einfaches Beispiel ist die Ellipse mit den Halbachsen . In Standardlage besitzt ihr positiv orientierter Rand die Parameterdarstellung



Man berechnet die Differentiale



Einsetzen in das obige gibt



hat daher den Flächeninhalt



Und du kannst ja selbst einmal die Formel auf beliebiges verallgemeinern.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Autor meines Analysis 2 Buches, Stefan Hildebrandt, kommt aus der Minimalflächen-Physik (viel DGl und Variationsrechnung) , und bringt den allgemeinen Stokes erst im 3. Band, sozusagen als Höhepunkt.

Also es wäre dann



und wenn ich nun naiv die und-zeichen als + lese, wäre y' -Anteil 0 und x'-Anteil 1. (was natürlich falsch ist...)

Sind dies' auch äußere Produkte im Sinne von Determinanten ? Wie rechne ich da weiter ?

mfg, phi
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es müßte wohl



heißen.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold smile ,

Ich verstehe nur noch nicht ganz warum in der Flächenformel



nur der "hintere" Teil übrigbleibt...

mfg, phi
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dieselbe Bedeutung wie in meinem Beitrag haben, nämlich die Parameterdarstellungen für die Koordinaten zu sein, dann stimmt das meiner Meinung nach auch nicht.

Der Tropfen dort hat den Flächeninhalt .
 
 
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich als Betrag der Fläche mit



auch raus.

Wobei ich um den Betrag der Fläche zu ermitteln so gerechnet habe:

.



Edit: Mit Vertauschung der Intergrationsgrenzen um die Kurve positiv zu orientieren, geht´s auch:



Vlt. gilt deren "Faustformel" nur für geschlossene Kurven ?

mfg, phi
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, das geht ja viel einfacher. Wenn man in meinem früheren Beitrag



wählt, erhält man ja ebenso das euklidische Flächenelement:




Übrigens kann man die Tropfenaufgabe auch ganz ohne Brimborium lösen. Der Tropfen ist ja symmetrisch bezüglich der -Achse. Für seine rechte Hälfte kann man als Funktion von schreiben: . Man löst zunächst die Parameterdarstellung von nach auf:



Das negative Vorzeichen wählt man, damit beim folgenden Einsetzen positiv ausfällt (rechte Hälfte des Tropfens):



Der Tropfen hat daher den Inhalt



Die inneren Funktionen sind linear mit konstanter Ableitung 1. Die Integration geht daher problemlos vonstatten.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das wird wohl auch der Hintergrund von 'Verzweifelter´s' Mitschrift sein:




Übrigens entspricht deine erste Form haargenau der Keplerschen Flächenformel.




mfg
Schüler Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab das thema jetzt nicht ganz durchgelesen und wahrscheinlich seid ihr bereits zu einer lösung gekommen aber so wie ich die frage verstanden habe würde ich es so machen


jetzt beidseitig differenzieren

jetzt ist


daraus folgt


jetzt ist wie man es sicherlich in polarkoordination kennt

und somit ist


und damit


oder was meintet ihr?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast den richtigen Riecher. Das ist schon der Kern der Sache. Freude In einem heuristischen Sinne könnte man das auch durchgehen lassen. Aber strenge Mathematik ist das nicht. Das läuft eher unter dem Begriff Ingenieur-Mathematik. Denn da sind so viele Fragen offen: der Definitionsbereich der Tangensfunktion, die Divisionen, der naive Umgang mit Differentialen, ...

Man könnte einen exakten (?) Beweis so führen:

Wir nehmen ein einfach zusammenhängendes Gebiet des , das von einer stetig differenzierbaren geschlossenen Kurve mit Parameterdarstellung



berandet wird. Die Kurve soll einmal durchlaufen werden. Es gilt dann



Um topologischen Schwierigkeiten aus dem Weg zu gehen, nehmen wir zusätzlich an, daß sternförmig ist. Es gibt also im Innern von einen Punkt , so daß jede Verbindungsstrecke von diesem Punkt zum Rand der Kurve ganz zu gehört. Wenn man jetzt



setzt, dann ist das Bild des Rechtecks unter der Transformation :



Die Wirkung von kann man sich so vorstellen, daß vom Sternpunkt aus Strahlen zum Rand des Gebietes führen. Die Funktionaldeterminante von ist



Diese ist positiv bei positiver Orientierung der Kurve (ich hoffe, das stimmt), die wir von jetzt ab annehmen wollen, so daß man nach der Substitutionsregel für Bereichsintegrale den Flächeninhalt von berechnen kann:









Und für nicht sternförmige Gebiete muß man wohl mit topologischen Tricks wie differenzierbaren Zerlegungen der Eins oder ähnlichem arbeiten, um den Beweis führen zu können.
andzzz Auf diesen Beitrag antworten »
gaussche flaechenformel
ein trapez hat die fläche:a=(s1+s2)*h/2
s1 und s2 sind die parallelen linien.
die fläche wird als differenz von trapezen betrachtet. Daher werden erstmal die Trapezflächen, die den oberen rand bilden berechnet und dann diejenigen, die den untern rand bilden, abgezogen. Bei einem dreieck sieht das dann so aus:
a=1/2*(y2+y1)*(x2-x1)+1/2*(y2+y3)*(x3-x2)
-1/2*(y1+y3)*(x3-x1)
=1/2*(y2x2-y2x1+y1x2-y1x1+y2x3-y2x2+y3x3-y3x2
-y1x3+y1x1-y3x3+y3x1)
=1/2*(y1x2+y2x3+y3x1-y1x3-y2x1-y3x2)
=1/2*su.(y(i)(x(i+1)-x(i-1))
für i=1 bis n
wenn i+1>n dann ist i+1=1
wenn i-1<0 dann ist i-1=n setzen
(:-p) (ich habe an einstein mit herausgstreckter zunge gedacht)
viel spaß beim nachrechnen!
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