Integral mit Parameter|Abitur

04.04.2006, 17:45

JayT

Integral mit Parameter|Abitur

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x^ne^{-x} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ sei der Inhalt der Fläche, die von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ begrenzt wird. Welchem Grenzwert nähert sich die Folge ( $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ) für $\begin{eqnarray*} n->+\infty \end{eqnarray*}$ ?

Die Graphen schneiden sich stets an den Stellen 0 und 1. Daher ist meiner Meinung nach der Grenzwert des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~xe^{-x}-x^ne^{-x} ~dx \end{eqnarray*}$ zu lösen. Doch dabei komme ich nicht weiter, da nach den Regeln der partiellen Integration der Faktor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ zwar stets mit verringerter Potenz auftritt, aber ich nicht weiß, wie ich dies korrekt schreiben bzw. vereinfachen kann, sodass ich den Grenzwert der Folge berechnen kann.

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank

Jay

04.04.2006, 18:23

Lazarus

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ich nehm an $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Dann schau dir mal den Plott an und sag mir was du siehst !

04.04.2006, 18:29

JayT

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hmh, es sieht so aus, als würde sich der Graph für n gegen Unendlich der Gerade x=1 annähern? somit brauche ich nur den Flächeninhalt berechnen, den der Graph von K1 in den Grenzen 0 und 1 mit der x-Achse einschließt?

04.04.2006, 18:34

Lazarus

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jein.
In dem Abschnitt schon, doch e^x ist bekanntlich "stärker" als alle x^n [edit: also geht es im grenzwert dann doch gegen 0]

gegen welchen wer geht denn das Integral [0-1] folglich insgesamt für n-> unendlich.

servus

04.04.2006, 18:52

JayT

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wenn e^x "stärker" als x^n ist, wobei x^n hier gegen null strebt, ist der Grenzwert des Integrals letzlich $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~xe^{-x}-e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$ , oder?

Tut mir leid, hab gerade irgendwie ein Brett vor dem Kopf, aber auf was anderes käme ich nicht..

05.04.2006, 12:01

Lazarus

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Diese Bemerkung

Zitat:

In dem Abschnitt schon, doch e^x ist bekanntlich "stärker" als alle x^n [edit: also geht es im grenzwert dann doch gegen 0]

war als Antwort auf

Zitat:

als würde sich der Graph für n gegen Unendlich der Gerade x=1 annähern?

gedacht.

Das gilt nur in dem Bereicht, du meinst das richtige, drückst es aber falsch aus.

Je größer n ist, desto geringer ist die Fläche von x^n*e^(-x) im bereich 0 bis 1.

Diesen Sachverhalt zu erkennen ist schonmal Punkt eins, denke das hast du für so selbstverständlich gehalten, dass du es nicht erwähnt hast.

Punkt 2 ist dann das Verhalten von f_n(x) bei x=1 zu beschreiben.
Um es kurz zu machen, die Steigung ist sehr groß, doch x=1 ist nicht Tangente wenn du das oben so gemeint hast, denn sonst wäre f keine Funktion, bzw an 1 nicht definiert, oder wenigstens neu definiert und nichtmehr stetig.

Meine Bemerkung von oben:

Zitat:

In dem Abschnitt schon, doch e^x ist bekanntlich "stärker" als alle x^n [edit: also geht es im grenzwert dann doch gegen 0]

bezieht sich, sozusagen als Ausblick für größere x, darauf wie sich die Funktion weiter verhalten wird. Ist für die Flächenberechnung nicht relevant.

Was gibt nun Punkt 1 und 2 zusammengefasst ?

Die Fläche von x^n*e^-x von 0 bis 1 nähert sich 0 an für große n.

Soweit hast du es denk ich auch erkannt, doch deine Schlussfolgerung und der Grenzwert des Integrals ist schlicht falsch, und mir rätselhaft wie du darauf kommst.

Dein erster Ansatz war schon richtig:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~xe^{-x}-x^ne^{-x} ~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Die Frage die sich nun stellt ist, was passiert mit dieser Differenz für große n ?

05.04.2006, 14:52

JayT

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Ja, Punkt 1 habe ich erkannt gehabt! Zusammen mit deinem Punkt 2 müsste die Differenz $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~xe^{-x}-x^ne^{-x} ~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ also gegen $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~xe^{-x} ~\mathrm dx = 0,2642 \end{eqnarray*}$ streben?

05.04.2006, 18:16

Lazarus

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Für x -> unendlich ja. (hab den zahlenwert nicht nachgerechnet, aber das prinzip stimmt)

Jetzt müssten wir es nurnoch formal richtig schreiben.
und was glaubst du wie wir das schaffen können ?

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