Integral

04.04.2006, 21:59

20_Cent

Integral

Wie kann ich beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} 4\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}x^2~dx=2\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$

gilt?

mfg 20

04.04.2006, 22:12

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 4 \int_{-\infty}^{\infty}~x^2 \operatorname{e}^{-x^2}~\mathrm{d}x = -2 \int_{-\infty}^{\infty}~x \cdot \left( -2x \operatorname{e}^{-x^2} \right)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Partielle Integration: Beginne mit der Stammfunktion der Klammer.
Verwende das Gaußsche Fehlerintegral.

04.04.2006, 22:17

20_Cent

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schön und gut, aber wie beweise ich das gaußsche fehlerintegral? Also wie zeige ich, was da rauskommt?
mfG 20

04.04.2006, 22:21

Mathespezialschüler

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Auch du bist ein User, also für dich auch die Bitte um mehr Informationen.
Was kann man denn voraussetzen?

Gruß MSS

edit: @Leopold

Zitat:

Original von Leopold
Beginne mit der Stammfunktion der Klammer.

Eine Stammfunktion. Augenzwinkern

04.04.2006, 22:23

20_Cent

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analysis I *g*

d.h., dass ich in der Uni noch nicht mit Integralen zu tun hatte... braucht man da viele Vorraussetzungen?

mfG Oli

04.04.2006, 22:31

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
edit: @Leopold

Zitat:

Original von Leopold
Beginne mit der Stammfunktion der Klammer.

Eine Stammfunktion. Augenzwinkern

elliptische Wendung

@ 20Cent

siehe hier

04.04.2006, 22:43

Abakus

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Zum Thema Fehlerintegral: du müsstest als Voraussetzung wissen, wie man Polarkoordinaten einführt:

Sei $\begin{eqnarray*} I := \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-x^2}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ .

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-x^2}~\mathrm{d}x \times \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-y^2}~\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{-\infty}^{\infty}~\int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-x^2-y^2}~\mathrm{d}x ~\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_{0}^{2\pi}~ \int_{0}^{\infty}~r * \operatorname{e}^{-r^2}~\mathrm{d}r ~\mathrm{d}\phi \end{eqnarray*}$

Das Integral kannst du sukzessiv auswerten (im Link von Leopold steht es natürlich auch).

Grüße Abakus smile

04.04.2006, 23:03

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Leopold
elliptische Wendung

Was ist eine "elliptische Wendung"? Gibts da noch mehr von? Augenzwinkern

@Abakus
Wie kommst du auf die letzte Zeile? Also: Wie genau führt man denn die Polarkoordinaten ein?

Gruß MSS

04.04.2006, 23:13

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was ist eine "elliptische Wendung"? Gibts da noch mehr von? Augenzwinkern

Oh, ganz, ganz viele ...

04.04.2006, 23:29

Abakus

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Zur Einführung von Polarkoordinaten wird substituiert:

$\begin{eqnarray*} (x, y) := (r*cos(\phi), r*sin(\phi)) \end{eqnarray*}$ ,

damit $\begin{eqnarray*} dx~ dy = \begin{vmatrix} cos(\phi) & -r*sin(\phi)\\ sin(\phi) & r*cos(\phi) \end{vmatrix} dr~ d\phi = r * dr~ d\phi \end{eqnarray*}$ .

Das ist die (mehrdimensionale) Substitutionsregel. Die Integrationsgrenzen transformieren sich entsprechend.

Grüße Abakus smile

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