Schwerpunkt teilt Schwerlinie im Verhältnis 2:1 - Beweis? |
| 11.05.2004, 21:50 | Y-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schwerpunkt teilt Schwerlinie im Verhältnis 2:1 - Beweis? Wie kann man beweisen/begründen, dass der Schwerpunkt eines Dreiecks jede Schwerlinie im Verhältnis 2:1 teilt? Danke! |
||||
| 11.05.2004, 22:19 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Schwerpunkt teilt Schwerlinie im Verhältnis 2:1 - Beweis? So 'ohne weiteres' überhaupt nicht. Was hingegen weniger schwierig ist, ist der Beweis, dass der Punkt, in welchem sich die Seitenhalbierenden schneiden, diese im Verhält- nis 2:1 teilt. 
|
||||
| 11.05.2004, 22:41 | Y-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Was genau meinst du mit Seitenhalbierende? |
||||
| 11.05.2004, 23:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi! Der Punkt, in dem sich die Seitenhalbierenden schneiden, IST der Schwerpunkt! Die Bezeichnung "Seitenhalbierende" ist ziemlich unglücklich, weil sie leicht mit dem Begriff Mittensymmetrale verwechselt werden kann; Deshalb wird im österreichischen Lehrplan stattdessen die Bezeichnung "Schwerlinien" verwendet. Darunter sind (in einem Dreieck) die Verbindungslinien eines Seitenmittelpunktes zum gegenüberliegenden Eckpunkt zu verstehen. Durch diese wird demgemäß auch die Fläche des Dreieckes in zwei gleiche Teile geteilt. Dass der Schwerpunkt die Schwerlinien im Verhältnis 2 : 1 (von der Ecke aus gesehen) teilt, ist geometrisch sehr leicht mittels des Strahlensatzes nachzuweisen+). Rechnerisch geschieht dies am besten vektoriell. Beide Beweise sind "klassisch" und überall nachzulesen. +) seien s_c und s_a gezeichnet (und deren Schnittpunkt S), s_a geht durch Halbierungspunkt Ha auf BC. Durch B Parallele zu s_c, schneidet Verlängerung von AC in C'. C ist Mittelpunkt von AC'. s_a trifft BC' in Ha', Ha ist ebenfalls Mittelpunkt von SHa'. Somit ist AS = 2*SHa. Gr mYthos |
||||
| 11.05.2004, 23:18 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einspruch, der Begriff Seitenhalbierende ist MINDESTENS genauso geläufig. Weiterhin beweist diese Tatsache nicht die Eigenschaft des gewissen Punktes als SCHWERPUNKT sonder nur dessen Eigenschaft als Schnittpunkt der entsprechenden Linien. Der Nachweiß dass es sich dabei um einen Schwerpunkt im Sinne der Definition handelt ist damit nicht vollbracht.
|
||||
| 11.05.2004, 23:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe nicht gesagt, dass der Begriff (in Deutschland) nicht geläufig ist! Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass er unglücklich ist, deshalb (in Österreich): Schwerlinie! Es ist ausserdem hier nicht die Aufgabe, nachzuweisen (bitte, das hat mit "weiß" nix zu tun), dass der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden im Schwerpunkt liegt (das ist eine andere Geschichte, allerdings leicht als Massenmittelpunkt zu definieren), sondern dass dieser Punkt das Teilverhältnis 2 : 1 erzeugt. 
|
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 11.05.2004, 23:45 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mythos Woher weiß man denn, dass der Punkt Ha die Strecke SHa' halbiert (erst das lässt ja den Schluss zu, dass AS = 2*SHa)???? @Poff Ein Schwerpunkt im Sinne der Definition, damit meinst du doch physikalisch oder??? Ist nicht bewiesen, dass es der Schwerpunkt ist, wenn man bewiesen hat, dass er die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt (nach dem Hebelgesetz)??? |
||||
| 12.05.2004, 00:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das folgt aus der Kongruenz der Dreiecke HaBHa' und SHaC, a/2 und zwei Winkel (Scheitel- und Parallelwinkel) sind gleich. |
||||
| 12.05.2004, 00:47 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mathespezialschüler Der Punkt den man Schwerpunkt einer Fläche nennt, hat eine klar definierte Eigenschaft. Im Dreieck schneiden sich die Seitenhalbiernden in einem Punkt, dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und dieser Punkt teilt diese Linien im Verhältnis 2:1. Dass dieser Punkt nun zugleich auch ein Flächenschwerpunkt im Sinne der Definition ist, ist nochmal ein anderes Kapitel. ... und der Threadersteller hat soo gefragt:
Dazu muss ich nun aber auch beweisen, dass der Flächenschwerpunkt des Dreiecks mit jenem Schnittpunkt zusammenfällt, eben ein Punkt im Sinne der Definition ist, wenn ich's genau wörtlich nehm. Im Prinzip hat der Threadersteller falsch gefragt. Die Frage hätte müssen lauten: .. Wie kann man beweisen/begründen, dass die Seitenhalbierenden ((Schwerlinien)) eines Dreiecks sich im Verhältnis 2:1 teilen und in einem Punkt schneiden? sooo, damit wollte ich nun NICHT weiter auf dem Ding rumgeritten haben, hab jetzt NUR geantwortet weil du explizit nochmal DAZU gefragt hast ....
|
||||
| 12.05.2004, 00:54 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Eigenschaft hat er denn?? |
||||
| 12.05.2004, 02:16 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Summe der 'Flächenträgheitsmomente' ist Null
|
||||
| 12.05.2004, 07:01 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe, es fällt euch schwer, einen Punkt zu machen. 
Ich finde es eine unnötige Verunsicherung des Fragestellers, über eine Randbemerkung hinaus dies "Problem" abzuhandeln Johko *mallieberbildanfüg* Zum vektoriellen Beweis siehe ein ähnliches Problem bei http://de.web-z.net/~mathe/thread.php?threadid=3193&sid= |
||||
| 12.05.2004, 15:33 | Y-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Herzlichen Dank an alle. Bezüglich der Bezeichnung: In Österreich heißt es in allen Schulen "Schwerpunkt" und "Schwerlinie". PS.: Ich hätt eigentlich nicht gedacht, dass der Beweis so einfach ist. |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
