Fragesammlung von Algebra und Kurvenuntersuchung

30.06.2008, 09:29

Majin_Clodan

Fragesammlung von Algebra und Kurvenuntersuchung

Guten Morgen,

Deutschland hat zwar verloren, aber trotzdem muss das Leben u.a. in der Mathematik weitergehen. geschockt

Ich frische schon seit einiger Zeit für mein Studium meine Mathekenntnisse auf und dementsprechend habe ich eine kleine Fragesammlung angelegt, in welcher ich hoffe, dass diese gelöst werden können. smile

Habe mich auch schon sehr bei wikipedia und mathematik.de durchgekämpft, aber es gibt halt Sachen, die bei mir einfach nicht geläufig sind. traurig

Meine Fragesammlung gliedert sich einmal in Algebra und Kurvenuntersuchung, welche aus Unterpunkten besteht.

Algebra:

1) Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = ln(a) * a^x \end{eqnarray*}$

Problem:
Hierbei verstehe ich leider gar nicht, wie man auf solch eine Ableitung kommen soll. Ich kann zwar die Logarithmus- und Exponentialfunktions-Regeln, aber irgendwie komme ich mit diesen Regeln hier nicht weiter. Demzufolge würde ich gerne wissen, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Vielleicht helfen auch einfach nur Formeln, die nicht weiß und mit welchen es dann nachvollziehbar ist.

2) Veränderte Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{ln(a) * x} \end{eqnarray*}$

Problem:
Auch dies hier kann ich leider nicht nachvollziehen. Ich verstehe in keiner Weise, wie man auf so ein Ergebnis kommen soll. Irgendwo im Internet habe ich diese Formel gesehen, wo es hieß, dass, wenn a und x Werte hätten, dass beide Schreibweisen das gleiche Ergebnis hätten.
Fehlen mir hierzu Formeln? Falls ja, wäre jemand so gut und würde diese mir geben, damit ich dies nachvollziehen kann? smile

3) Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{ln(a)} * a^x + c \end{eqnarray*}$

Problem:
Wieder das gleiche. Kann es gar nicht nachvollziehen aufgrund von denke ich mal mangelnden Formeln. unglücklich

Kurvenuntersuchung:

1) Asymptote:

Also ich weiß, wie ich eine Asymptote bei einer gebrochenen rationalen Funktion bestimme, wenn der Grad des Zählers größer oder gleich so groß sei wie der Nenner(Polynomdivision).
Was aber, wenn der Nenner größer ist als der Zähler? Da kommt man dann ja mit der Polynomdivision nicht weit. O.O

2) Definitionslücke:

Ich habe irgendwo mal gelesen, dass man die Polstelle bzw. Polgerade auch Definitionslücke nennt. Stimmt das und haben beide dann wirklich beide die selben Eigenschaften?

3) Sattelpunkt:

Ich fand heraus, dass ein Sattelpunkt entstehe, wenn der x-Wert der Nullstelle und der Extrempunkte(oder eines Extrempunktes?) Null ergibt. Des weiteren muss der (oder die?) x-Wert(e) bei der zweiten Ableitung ungleich Null zu der dritten Ableitung sein, sprich, es existiere ein Wendepunkt. Außerdem habe der Sattelpunkt einen Anstieg von Null.
Stimmt das alles soweit? Wenn ja, wie beeinflusst ein Sattelpunkt den Graphen? Bei dem folgenden Bild auf wikipedia:

http://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt

konnte ich nicht wirklich viel erkennen. Ich sehe nur, dass der Graph bei diesem Punkt in eine kurze waagerechtre Lage aufgrund von:
m = 0
kommt. Ist das wirklich alles oder beherbergt der Sattelpunkt noch mehr Geheimnisse??

4) Existenz eines Wendepunktes:

Also ich erstelle die zweite Ableitung und bekommen einen x-Wert heraus. Ist dieser x-Wert zu der dritten Ableitung gleich Null, heißt das nicht, dass kein Wendepunkt bestehe.
Ich las in meinen Aufzeichnungen, dass ich diesen Punkt nun in meiner zweiten Ableitung einsetzen soll. Hierbei soll ich diesen Punkt auf ein Vorzecihenwechsel überprüfen.
Das verstehe ich leider gar nicht. O.O Heißt das, ich setze einmal:
+ x
und
-x
ind f''(x) ein? Wenn es ein Vorzeichenwechsel gibt, was dann? Wenn es kein Vorzeichenwechsel gibt, was ist für diesen Fall dann??

________________________________

Ich hoffe, einige haben die Zeit mir diese aufgaben zu beantworten. Ich hoffe, dass einige Stellen nicht zu kurz und unvollständig rüberkamen. smile

Hoffe auf positive antworten meiner Fragen, damit ich diese rätsel dann endlich gelöst hätte. smile

MFG Majin_Clodan

30.06.2008, 10:40

Dunkit

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Hi
Ich versuche mal, alles kurz und bündig zu beantworten ;-)

Algebra:

1) du musst nur 2) verstehen. Es ist nämlich tatsächlich $\begin{eqnarray*} a^x = e^{\ln (a) \cdot x} \end{eqnarray*}$ . Dann wende die KEttenregel an.
EDIT: Kettenregel brauchst du hier noch nichtmal Augenzwinkern

2) $\begin{eqnarray*} a^x = ({e^{\ln a}}) ^x = e^{\ln(a) \cdot x} \end{eqnarray*}$ Erstere Gleichheit folgt aus der Tatsache, dass ln die Umkehrfunktion der e-Funktion ist! Also $\begin{eqnarray*} e^{\ln(a)} = a \end{eqnarray*}$ . Die zweite Gleichheit gilt nach den Potenzgesetzen.

3) Benutze einfach die Gleichung aus 2) um $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ umzuformen

So, jetzt versteh das erstmal, dann sehen wir weiter Augenzwinkern

30.06.2008, 13:16

Majin_Clodan

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Ahso.

Ich verstehe das jetzt. Zumindest zweitens.

Praktisch würde es folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{ln(a)^x} \end{eqnarray*}$

und jetzt nur noch das x runterschieben. Ich habe mir das so gemerkt, dass man alle Werte, die über dem ln stehen bzw. dessen Werte, runterziehen kann.
Es würde also demzufolge dies stehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{ln(a) * x} \end{eqnarray*}$

Ich habe diese Hilfe dann bei 1) genommen, aber irgendwie stimmt bei mir etwas nicht. O.O
Ich habe folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} (\frac{x}{a} + ln(a) ) * e^{ln(a) * x} \end{eqnarray*}$

Ich dachte mir hierbei, vielleicht sieht meine Gleichung nur anders aus als meine Zielgleichung. Dementsprechend habe ich Werte für x und a eingesetzt:
x = 1
a = 2
In meiner Zielgleichung kommt ca. 1,39 heraus, während bei meiner Gleichung nur 2,39 herauskommen.
Das Problem ist ja das x / a. Das muss ich wegbekommen, aber es muss ja bei der Anwendung der Kettenregel stehen.
Ich erkläre lieber erstmal ,was ich gemacht habe. Dann ist es geläufiger, wo eventuell der Fehler sein könnte. smile

Also ich machte die Ableitung von ln(a). Diese gibt es die äußere und innere Ableitung, wobei ich nur eines brauche. Demzufolge lautet hiervon die Ableitung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von x sei 1.
Nun habe ich die Produktregel angewandt:

u = ln(a)
u' = 1 / a

v = x
v' = 1

Eingesetzt würde das aussehen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a} * x + ln(a) * 1 \end{eqnarray*}$

Nun wäre ich also praktisch wieder bei meinem obigen Ergebnis, welches aber falsch ist. unglücklich

Drittens habe ich noch nicht probiert, da ich lieder erstmal 1) herausbekommen sollte.

MFG Majin_Clodan

30.06.2008, 13:21

Mr.B.

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Algebra:

Die Ansätze, die Dunkit geschrieben hat sind völlig korrekt, allerdings kann man bei 2) auch über die Logarithmus gesetze argumentieren:

$\begin{eqnarray*} a^{x}=e^{\ln a^{x}}=e^{x\cdot\ln a} \end{eqnarray*}$

dabei hat man jetzt das Gesetz

$\begin{eqnarray*} \ln a^{x}=x\cdot\ln a \end{eqnarray*}$

angewendet.

Kurvenuntersuchung / Kurvendiskussion:

Ich geh mal nicht der Reihenfolge nach:

2) Eine Polstelle ist eine "Sonderform" der Definitionslücke, wobei - glaube ich - bei gebrochenganzrationalen Funktionen alle Definitionslücken auch Polstellen sind. Eine Definitionslücke $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wird dann Polstelle genannt, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow x_{0}}\mid f(x)\mid=\infty \end{eqnarray*}$
Mit anderen Worten, wenn die Funktion an der einpunktigen Definitionslücke $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich strebt.
Die Polgrade oder auch Polasymptote ist dann $\begin{eqnarray*} x = x_0 \end{eqnarray*}$ (eine Parallele zur y-Achse).

4) Exakt: Wenn das hinreichende Kriterium $\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ nicht gegeben ist, wird dadurch der Wendepunkt nicht ausgeschlossen. Wie du sagtest muss man dann auf VZW (Vorzeichenwechsel) der zweiten Ableitung prüfen. Wenn der Vorzeichenwechsel vorhanden ist, heißt das, dass die Steigung der ersten Ableitung die Richtung wechselt, woraus folgt, dass ein lokales Extremum vorliegen muss. Das ist das, was man meint mit "Der Wendepunnkt ist der Punkt, bei der man, wenn man sich die Funktion als Straße vorstellt, beim Fahrradfahren, den Lenker in der Bewegung von einer Seite zur anderen (Richtungsänderung), exakt gerade hat: Die Steigung der Steigung oder Die Steigung der ersten Ableitung ist maximal bzw. minimal.

3) Nachdem ich bei 4) so weit ausgeholt habe: Liegt der VZW bei einer Nullstelle der ersten Ableitung einer Funktion nicht vor (also kein Extremum), so wurde die Steigung kurz 0 und danach steigt/sinkt die ursprüngliche Funktion in dieselbe Richtung weiter.
Beispiel:

1) Zu der Asymptote kann ich leider nichts sagen, aber ich glaube man kann auch die Polynomdivision durchführen, wenn der Nenner größer ist, als der Zähler. Man kann sich vor den fehlenden Teilen des Zählerpolynoms gegenüber des Nennerpolynoms auch 0'en schreiben. Dann ist der Zähler genauso groß wie der Nenner smile

Gruß,
Mr.B.

30.06.2008, 13:31

Mr.B.

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Zitat:

Ich habe mir das so gemerkt, dass man alle Werte, die über dem ln stehen bzw. dessen Werte, runterziehen kann.
Es würde also demzufolge dies stehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{ln(a) * x} \end{eqnarray*}$

Da würde ich vorsichtig sein mit diesem Merksatz. Das was du angewandt hast, war eigentlich ein Potenzgesetz:
$\begin{eqnarray*} a^{b^{c}}=a^{b\cdot c} \end{eqnarray*}$
Gilt nur, wenn du eine Potenz vorliegen hast. Für sich genommen, gilt das also nicht für alle ln.
Alternativ wie oben erwähnt, kann man das $\begin{eqnarray*} a^{x} \end{eqnarray*}$ vollständig in den ln reinziehen. Dann gilt oben genanntes Logarithmusgesetz: Da ist also wichtig, wie du die Klammern setzt!

Zitat:

Ich habe diese Hilfe dann bei 1) genommen, aber irgendwie stimmt bei mir etwas nicht. O.O
Ich habe folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} (\frac{x}{a} + ln(a) ) * e^{ln(a) * x} \end{eqnarray*}$

Ich dachte mir hierbei, vielleicht sieht meine Gleichung nur anders aus als meine Zielgleichung. Dementsprechend habe ich Werte für x und a eingesetzt:
x = 1
a = 2
In meiner Zielgleichung kommt ca. 1,39 heraus, während bei meiner Gleichung nur 2,39 herauskommen.

Das $\begin{eqnarray*} \frac {x} {a} \end{eqnarray*}$ sollte eigentlich garnicht entstehen. Wenn du ableitest, benutzt du die Kettenregel: "Die Ableitung einer verketteten Funktion ist das Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion, in der die innere Funktion unverändert eingesetzt wird und die Ableitung der inneren Funktion. Angewendet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x\cdot\ln a}\Rightarrow f'(x)=e^{x\cdot\ln a}\cdot\left[x\cdot\ln a\right]'=e^{x\cdot\ln a}\cdot\ln a \end{eqnarray*}$

Wichtig zu beachten: du leitest nach x ab. ln(a) ist demnach als konstant anzusehen!!!

30.06.2008, 20:16

mathe760

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Ich glaube ich kann da noch was zur Asymptote sagen.

1) Asymptote:

Wenn der Grad des Nenners größer ist als der des Zählers (oder auch wenn der Grad des Nenners gleich dem des Zählers ist), dann muss man jeden Teil der Funktion durch die höchste-im Zähler vorkommende- Potenz von x dividieren und anschließend x gegen Unendlich laufen lassen.
Ein Beispiel:

Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2+2}{3x^3+8} \end{eqnarray*}$

Nun dividiert man jeden Teil der Funktion- im Nenner und im Zähler- durch die höchste- im Zähler vorkommende- Potenz von x, sprich $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{3x^3}{x^2}+\frac{8}{x^2}} \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{3x^3}{x^2}+\frac{8}{x^2}}= \lim_{x \to \infty }\frac{1+\frac{2}{x^2}}{3x+\frac{8}{x^2}}=\frac{1}{\infty}=0 \end{eqnarray*}$

Und das ergibt immer Null. Die Asymptote lautet dann: y=0

Wenn irgendetwas dir nicht geläufig sein sollte, dann frag einfach nochmal nach.

Bis denn mathe760 Wink

01.07.2008, 14:02

Majin_Clodan

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Algebra:

1)
Als wie ich auf die Ableitung kommen, ist mir nun klar. Hierbei sollte man sich ja nur folgendes merken:
Existiere im ln ein Wert d.h. kein Parameter, ist dieses ln als Konstante bzw. ganzer Wert anzusehen. Demzufolge wäre die Ableitung solch einer Konstanten Null.
Existiere aber im ln ein Parameter, dann ist dessen Ableitung nicht Null. Hierbei muss man dann die Ableitungsregeln für Logarithmen anwenden. Habe man also z.B. den ln(x), laute ganz einfach die Ableitung 1/x.
=> Erledigt!

2) => Erledigt!

3) => Erledigt und selber herausbekommen. Tanzen

Kurvenuntersuchung:

1) => Erledigt.

2)
Also die Definitionslücke ist demzufolge der Bereich, welchen die Funktion niemals berühren bzw. durchschreiten kann. Also existierte eine Definitionslücke von:
$\begin{eqnarray*} \lim_{2 \to \infty} \end{eqnarray*}$

wären alle Werte für:
$\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$

für die Funktions undefiniert. Die Funktion würde also gegen:
$\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$
für alle:
$\begin{eqnarray*} x \leq 2 \end{eqnarray*}$
streben.

Die Polgerade hingegen sorgt sozusagen für eine genaue Kennzeichnung, wo die Definitionslücke anfängt und womöglich auch endet(wenn mehrere Polgeraden gegeben sind). Es diene aber zur zeichnerischen Kennzeichnung. smile

=> Erledigt!

3) bzw. 4):
Also den Einfluss des Sattelpunktes auf die Kurve ist mir nun verständlich.
Jediglich verstehe ich das mit dem VZW nicht bw. konnte es gar nicht erlesen. O.o

Ich solle ja einen Punkt z.B. für die Existenz eines Wedepunktes, wenn:
$\begin{eqnarray*} f'''(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

vorliegt, in die zweite Ableitung einsetzen und hierbei auf ein VZW überprüfen.
Ich wollte hierbei wissen, ob ich einmal:
$\begin{eqnarray*} f''(+x_0) = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f''(-x_0) = 0 \end{eqnarray*}$
einsetzen muss. Hierbei muss ich dann kontrollieren, ob diese beiden Werte das gleiche VZW haben oder nicht. Wenn sich z.B. der Wert bei einer der beiden ändern würde, wäre das egal und kommt es dann tatsächlich nur!!! auf das VZW an?? Oder frage ich hier Sachen, die vollkommen verwirrend sind? O.o Wie gesagt, bin irgendwie auf dem Schlauch.
Und wenn kein VZW vorhanden ist, ergibt dies dann einen Tiefpunkt??

MFG Majin_Clodan

01.07.2008, 14:20

Zizou66

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Zitat:

Original von Majin_Clodan

2)
Also die Definitionslücke ist demzufolge der Bereich, welchen die Funktion niemals berühren bzw. durchschreiten kann. Also existierte eine Definitionslücke von:
$\begin{eqnarray*} \lim_{2 \to \infty} \end{eqnarray*}$

Was ist das denn für eine Schreibweise? Ich kenne sie zumindest nicht.
Es gibt auch eigentlich keinen Grenzwert für zwei gegen unendlich. Grenzwerte sind immer von Variablen gegen einen bestimmten Wert und dann schreibt man dahinter auch einen Term, damit man bescheid weiß:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

An der Stelle x=2 liegt bei der von mir gegebenen Funktion eine Definitionslücke und eine Polstelle vor. Eine Polstelle ist eine einpunktige Definitionslücke.

Zitat:

Ich wollte hierbei wissen, ob ich einmal:
$\begin{eqnarray*} f''(+x_0) = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f''(-x_0) = 0 \end{eqnarray*}$
einsetzen muss.

Nein, du musst nur prüfen, ob der Wert der zweiten Ableitung, wenn du dich von der einen Seite an ihn näherst ein anderes Vorzeichen hast, als wenn du dich von der anderen Seite näherst. Du kannst dafür Punkte annehmen, die ein wenig unter dem x_0 , bzw. ein wenig über dem Wert für x_0 sind.

Zitat:

Und wenn kein VZW vorhanden ist, ergibt dies dann einen Tiefpunkt??

Nein, wenn kein VZW vorhanden ist, dann ist die hinreichende Bedingung für den Wendepunkt nicht erfüllt, daher gibt es hier keinen Wendepunkt.

01.07.2008, 15:04

Straffi

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Ich glaub das ist alles ein bisschen durcheinander:

Notwendig für Extremstellen Xo ist f'(Xo)=0.
Dann muss man überprüfen ob Xo wirklich Extremstellen sind mit:
f''(Xo)<0 -> Max f''(Xo)>0->Min f''(Xo)=0-> muss nicht Extremstelle sein
Nun überlegt man sich mit Hilfe des Monotoniekriteriums das VZW-Kriterium:
Wenn die Monotonie von f an der Extremstelle von steigend zu fallend wechselt, dann ist es ein Maximum. f ist steigend für f'>0 (VZ:+) und fallend für f'<0(VZ:-) Also beim Plus-Minus-Wechsel der ersten Ableitung an der Stelle Xo liegt ein Maximum vor. Minimum funktioniert analog. Liegt kein VZW vor, so sei Xo eine Sattelstelle.
Beispiel: f'(3)=0 f''(3)=0 -> VZW-Kriterium: f'(3-d)<0 ^ f'(3+d)>0, dann ist es ein Minus-Plus-Wechsel und somit ein Minimum. d sei einfach größer null aber möglichst gering, bei normalen Polynomen kann man eg d=1 machen.

Wendepunkte kann man sich ja auch herleiten ...

03.07.2008, 12:38

Majin_Clodan

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So, jetzt habe ich es verstanden. smile

Herzlichen Dank an folgende Leute:
Dunkit
Mr.B.
mathe760
Zizou66
Straffi

Ich glaube, bei solchen Hilfen werde ich das Forum mit meinen Fragen vollspammen( Big Laugh

).

MFG Majin_Clodan

03.07.2008, 13:04

Airblader

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Zitat:

Original von Mr.B.
$\begin{eqnarray*} a^{b^{c}}=a^{b\cdot c} \end{eqnarray*}$

Sorry Mr. B, aber dieses "Gesetz" ist iA schlicht falsch.

Schon eher stimmt $\begin{eqnarray*} (a^b)^c = a^{bc} \end{eqnarray*}$ mit entspr. a,b,c (auch nicht für alle).
Aber deine Gleichung stimmt nur für b=0 oder c=1.

air

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