Differenzierbar -> Stetig

05.04.2006, 15:54

Daktari

Differenzierbar -> Stetig

zu zeigen ist, dass eine differenzierbare Funktion stetig ist.

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar in $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ist, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} \end{eqnarray*}$

Ich kenne einen Satz/Lemma:
Sei $\begin{eqnarray*} f:I->{\mathbb R}^m \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar in $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f'(t_0)=a \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es eine im Punkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ stetige Funktion $\begin{eqnarray*} \phi:I->{\mathbb R}^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi (t_0)=a \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(t)=f(t_0)+\phi (t)(t-t_0) \end{eqnarray*}$

Der Beweis dazu ist einfach:
Man definiert sich ein $\begin{eqnarray*} \phi (t) = \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} \ falls \ t\neq t_0 \ und \ \phi (t) = a \ falls \ t=t_0 \end{eqnarray*}$
Da die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend ist mit $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to t_0}\phi (t)=a=\phi (t_0) \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch die Definition der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Hilft mir dieses Lemma überhaupt, wenn ich zeigen soll, dass aus
f differenzierbar --> f stetig folgt ?

Denn das Lemma sagt doch nur, dass es ein stetiges $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gibt. Wer sagt, dass $\begin{eqnarray*} \phi = f \end{eqnarray*}$ ist ?

05.04.2006, 16:11

JochenX

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das sieht nach einem typischen unsinnigen (*duck*) Analysissatz aus.
Aber bekanntlich gibt es einfach keine nichtstetigen Funktionen! (der "es gibt nicht Satz" macht alles so einfach)

Trotzdem solltest du mal in diesen Thread schauen:
Differenzierbar=>stetig
Da geht's ja um genau das gleiche Problem.

05.04.2006, 16:15

Ace Piet

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RE: Differenzierbar -> Stetig
Für ein stetiges f willst Du auf $\begin{eqnarray*} f(x+h) - f(x) \ldots < \epsilon \end{eqnarray*}$ hinaus. - Also ergänze den Term um $\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} \end{eqnarray*}$ und nutze die Diff.barkeit (Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ )aus.

05.04.2006, 17:47

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Daktari
$\begin{eqnarray*} f(t)=f(t_0)+\phi (t)(t-t_0) \end{eqnarray*}$

Lasse einfach $\begin{eqnarray*} t\to t_0 \end{eqnarray*}$ gehen. Dann hast du

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to t_0}f(t)=f(t_0)+\phi(t_0)\cdot 0=f(t_0)+f'(t_0)\cdot 0=f(t_0) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.04.2006, 21:18

Daktari

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Danke für die schnellen Antworten Mit Zunge

ich habe eure Tips verstanden, aber mit den folgenden 2 Zitaten vo Leopold und MMS, aus dem angegebenen Link, ist es mir deutlicher als deutlich geworden. Prost

Zitat:

Original von Leopold
Beachte die folgende Umformung

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0) \end{eqnarray*}$

Und jetzt beachte, daß man Grenzwerte gliedweise (also produktweise, summandenweise usw.) berechnen kann, sofern die Grenzwerte der Glieder existieren. Laß also mit anderen Worten in dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ gehen.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Doch natürlich. Denn dann steht doch da:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}\left(f(x_0)+\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\to x_0}f(x_0)+\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot \lim_{x\to x_0}(x-x_0)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot 0=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Und das ist doch gerade die Definition der Stetigkeit!

Gruß MSS

05.04.2006, 22:35

Mathespezialschüler

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Und mit MMS fühl ich mich auch immer noch nich angesprochen, selbst wenn dieser Fehler schon so oft gemacht wurde. Augenzwinkern

Gruß MSS

05.04.2006, 22:38

therisen

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und mit MMS fühl ich mich auch immer noch nich angesprochen, selbst wenn dieser Fehler schon so oft gemacht wurde. Augenzwinkern

Gruß MSS

Hehe, wie wäre es mit einer Umbenennung in MultimediaMessagingService an Stelle von MatheSpezialSchüler Big Laugh

Gruß, therisen

05.04.2006, 23:08

Ben Sisko

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oder (naheliegender) Mathematikschüler... Augenzwinkern

Edit: ein "h" entfernt, wie peinlich...

06.04.2006, 00:57

Ace Piet

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Hier bewixt sich die Forengilde... *MIR völlig klar*
*MUHAHA*
Teufel

06.04.2006, 01:14

Ben Sisko

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Machst dich immer sympathischer...

06.04.2006, 01:27

Ace Piet

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> Machst dich immer sympathischer...
Ich halte mich an das Niveau von "Poldi"

UND noch was... "gleiche Regeln für alle".

Ist der Beweis von MSS "formal" richtig? - *äääh* nä, aber... Komm lass sein.... "gleiche Regeln für alle". - Das heisst "bewixen".

(OT) Ist "machst" gleichwertig mit "gezz" oder "wenzte"? (OB-KRE- geschädigt?)

Teufel

06.04.2006, 02:05

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Ace Piet
(OT) Ist "machst" gleichwertig mit "gezz" oder "wenzte"? (OB-KRE- geschädigt?)

Wie heisst denn die 2. Person Singular von "machen" bei dir? "Du" halt weggelassen... (wobei ich mich von gelegentlicher "Ruhrsprache" gar nicht freisprechen will Big Laugh

)

Und wenn dir ein Fehler auffällt, darfst du den gern explizit hinschreiben, ohne Zweideutigkeiten etc.

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