Gleichmäßige Konvergenz prüfen?

30.06.2008, 10:28

tevlon

Gleichmäßige Konvergenz prüfen?

Hallo,

ich will bei der Exponentialreihe schauen ,ob die Konvergenz gleichmäßig ist .
$\begin{eqnarray*} exp(x) = \sum_{n=0}^\infty ~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$
Wie prüf ich das nach ?
Gibt es dafür ein Standardverfahren , wie ....-regel?
mfg
tevlon

30.06.2008, 11:22

Tomtomtomtom

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Gleichmäßige Konvergenz kannst du nur für Funktionenfolgen erklären. Ich gehe mal davon aus, du meinst die Funktionenfolge der Partialsummen

$\begin{eqnarray*} s_k (x) = \sum_{n=0}^k \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist es bei Potenzreihen so, daß die Konvergenz gegen die Grenzfunktion gleichmäßig ist auf jeder abgeschlossenen im Inneren des Konvergenzkreises liegenden Menge.

In dem konkreten Beispiel also auf jeder beliebigen Menge, da der Konvergenzradius der Potenzreihe der Exponentialfunktion unendlich ist.

30.06.2008, 11:52

tevlon

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Nun ist es bei Potenzreihen so, daß die Konvergenz gegen die Grenzfunktion gleichmäßig ist auf jeder abgeschlossenen im Inneren des Konvergenzkreises liegenden Menge.

Aha .. das wusste ich nicht . Kann ich das irgendwo nachlesen ?
Ich würde gerne den Beweis sehen .

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
In dem konkreten Beispiel also auf jeder beliebigen Menge, da der Konvergenzradius der Potenzreihe der Exponentialfunktion unendlich ist.

Also reicht es zu zeigen ,dass der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist ...mit der obengenannten bemerkung .oder?
mfg
tevlon

30.06.2008, 20:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von tevlon
Ich würde gerne den Beweis sehen .

Der Konvergenzradius der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_k z^k \end{eqnarray*}$

ist mit

$\begin{eqnarray*} L := \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$

gegeben durch

R := 1/L (falls L > 0, sonst ist nichts zu zeigen). Wir zeigen, dass die Reihe für jedes $\begin{eqnarray*} 0 < \varepsilon < 1 \end{eqnarray*}$ in der Kreisscheibe mit dem Radius $\begin{eqnarray*} (1-\varepsilon)R \end{eqnarray*}$ und Null als Mittelpunkt gleichmäßig konvergiert.

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N}, \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{|a_k|} \le (1+\varepsilon)L \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\ge N \end{eqnarray*}$

gilt. Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} |a_k| R^k \le (1+\varepsilon)^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\ge N. \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} 0\le |z| \le (1-\varepsilon)R. \end{eqnarray*}$ Die Behauptung folgt dann aus

$\begin{eqnarray*} |a_k| \cdot |z|^k \le |a_k| (1-\varepsilon)^k R^k \le (1-\varepsilon^2)^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\ge N. \end{eqnarray*}$

30.06.2008, 20:42

d101011

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Hallo, hab dasselbe Problem und zwar soll ich das mit folgen dem Kriterium zeigen

$\begin{eqnarray*} \mid\sum_{j=0}^k~\frac{x^j}{j!} - \sum_{n=0}^\infty~\frac{x^n}{n!} \mid <\epsilon , \forall x \in \mathbb R , k\geq N \end{eqnarray*}$
Stehe grad etwas auf der Leitung und könnte nen Tip gebrauchen, wie man das macht
Viele Grüße, 43

30.06.2008, 20:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von d101011
Stehe grad etwas auf der Leitung und könnte nen Tip gebrauchen, wie man das macht

Lies dir einfach meinen Beitrag durch.

01.07.2008, 14:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Nun ist es bei Potenzreihen so, daß die Konvergenz gegen die Grenzfunktion gleichmäßig ist auf jeder abgeschlossenen im Inneren des Konvergenzkreises liegenden Menge.

Falsch - auf jeder kompakten Teilmenge des Konvergenzkreises, sie muss also für diese allgemeine Aussage auch noch beschränkt sein!

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
In dem konkreten Beispiel also auf jeder beliebigen Menge, da der Konvergenzradius der Potenzreihe der Exponentialfunktion unendlich ist.

Dementsprechend stimmt diese Aussage natürlich auch nicht. Klarerweise ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \left\|\operatorname e^x-\sum_{k=0}^n~\frac{x^k}{k!}\right\|_{\infty}=\left\|\sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{x^k}{k!}\right\|_{\infty}=\infty. \end{eqnarray*}$ ,

falls man sich auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bewegt.

01.07.2008, 15:37

Tomtomtomtom

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Ja stimmt, die nötige Beschränktheit im Falle eines Konvergenzradius R=oo habe ich vergessen.

Man bezeichnet ja die Konvergenz, die bei Partialsummen von Potenzreihen vorlegt auch oft als kompakte Konvergenz.

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