Ebene gegeben durch zwei Geraden

05.04.2006, 17:41

Seb86

Ebene gegeben durch zwei Geraden

Moin!

"Zwei Geraden liegen in einer Ebene, wenn sie parallel sind oder sich schneiden"
"Zwei Geraden liegen auf keinen Fall in einer Ebene, wenn sie windschief sind"

Wie kann man das beweisen?

05.04.2006, 18:26

20_Cent

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zu 1): du kannst die ebene direkt angeben.

zu 2): du findest 3 punkte, die in einer ebene liegen, dann einen 4., der nicht in dieser ebene liegt.

mfg 20

06.04.2006, 10:20

Seb86

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Angenommen man hat jetzt eine Geradenschar und soll eine Ebene angeben, in der alle Geraden der Schar drin liegen... Wie macht man das denn?
Die Geraden können ja nur in einer Ebene liegen, wenn sie sich schneiden oder parallel sind. Big Laugh

06.04.2006, 10:28

N8schichtler

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Das kannst du nicht allgemein machen, weil es von deiner Schar abhängt. Die müsst ihr schon gegeben haben. Am einfachsten kannst du es dann wahrscheinlich mit linearen (Un-)Abhängigkeit lösen.

06.04.2006, 10:37

Seb86

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Ja die Schar habe ich doch gegeben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt? Tanzen

06.04.2006, 10:45

N8schichtler

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Na sag ich doch, alle möglichen Richtungsvektoren sind doch linear abhängig und damit also komplanar.

06.04.2006, 10:51

Seb86

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Aber der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist doch gar nicht linear abhängig!
Er lässt sich nicht als Vielfaches darstellen traurig

06.04.2006, 11:03

N8schichtler

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Zitat:

Original von Seb86
Aber der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist doch gar nicht linear abhängig!
Er lässt sich nicht als Vielfaches darstellen traurig

Du solltest die lineare (Un-)Abhängigkeit wiederholen!
Mache eine Linearkombination aus 3 unterschiedlichen Richtungsvektoren:
$\begin{eqnarray*} \lambda\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ t_1 \\ 0 \end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ t_2 \\ 0 \end{pmatrix}+\nu\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ t_3 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Du siehst (z.B. mit Hilfe der Determinante oder indem du das System löst), dass es eine nicht-triviale Lösung gibt und damit hast du es bewiesen.

06.04.2006, 15:15

Poff

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Schar liegt in einer Ebene.

Berechne (2;t1;0) x (2;t2;0) und zeige dass diese Vektoren
bis auf ein Multiplikatives gleich sind, bzw von t1, t2 'unabhängig'
sind indem du die t-Faktoren aus dem Vektor herausziehst ohne
dass 'Reste' darin verbleiben müssen.

Die Ebenengleichung ist dann

(X-(3;0;3)) x ((2;t1;0) x (2;t2;0))_modulo(t) = 0

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