Schnitt zweier Ebenen

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kaktus Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt zweier Ebenen
Hallo!
Wenn man untersuchen soll ob zwei Ebene sich schneiden hat man ja 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Ich weiss, dass man dabei die beiden Parameter der gleichen Ebene eliminieren soll.
Ich schaffe es aber trotzdem nicht und wie sieht man, dass es zB unendlich viele Lösungen gibt (->sie schneiden sich)?

Aufgabenbeispiel



danke
(ich weiss leider nicht wie man es hier als vektor schreibt)
phi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Ebenen
Hallo, Willkommen

Ob sie sich schneiden oder nicht findet man auch ohne Bestimmung aller Unbekannten indem man prüft ob die Richtungsvektoren der einen Ebene linear unabhängig von denen der anderen Ebene sind.

Bei deinem Aufgabenbeispiel ....(du darfst aber die Faktoren nicht bei beiden gleich benennen)




....sieht man sehr schön das beide Vektoren der zweiten Ebene linear abhängig von denen der ersten sind, d.h. schonmal das sie parallel sind:



Ob die Ebenen identisch sind oder nicht, erfährt man über die Koordinatenform, die man mit Hilfe des Vektorprodukts und der Normalen ermittelt, und dann einen Punkt in beide einsetzt.

mfg, phi
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Ebenen
Zitat:
Original von phi
...
....sieht man sehr schön das beide Vektoren der zweiten Ebene linear abhängig von denen der ersten sind, d.h. schonmal das sie parallel sind:
...


Ich kann da nicht ganz zustimmen:

4 Vektoren - wie die Richtungsvektoren der beiden Ebenen - sind in auf jeden Fall linear abhängig.

Zitat:

...
Ob die Ebenen identisch sind oder nicht, erfährt man über die Koordinatenform, die man mit Hilfe des Vektorprodukts und der Normalen ermittelt, und dann einen Punkt in beide einsetzt.

mfg, phi


IMHO* optiere ich den Weg, von beiden Ebenen den Normalvektor zu bestimmen und zu prüfen, ob diese beiden kollinear (lin. abh.) sind.

EDIT:
*in my humble opinion .. meiner bescheidenen Meinung nach

mY+
Crotaphytus Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die Parallelität findest du heraus, wie mYthos gesagt hat. Danach musst du die Schnittgerade bestimmen. Das geht folgendermaßen:

Zunächst formst du eine Gleichung in die Koordinatenform um. (Da du für die Überprüfung der Parallelität eh die Normalenvektoren brauchst sollte das kein Problem mehr sein.) Jetzt setzt du die zweite Gleichung (die noch in Parameterdarstellung ist) in die erste ein. Du setzt also (in deinem Beispiel) x = 4 + r + s, y = r + 3s und z = r + s. Das löst du dann nach r oder s auf und setzt das Ergebnis in die Parametergleichung der zweiten Ebene. Das musst du jetzt nur noch etwas zusammenfassen, und schon hast du ne wunderschöne Geradengleichung dastehen.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

@kaktus: bis auf das Willkommen vergiss meinen obigen Beitrag.... ich hatte mein Geometrie-Heft nicht dabei & mich nur dunkel errinnert...

mfg, phi
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