Ersatz für 2. oder 3. Ableitung

06.04.2006, 10:06

N8schichtler

Ersatz für 2. oder 3. Ableitung

Wenn die zweite oder dritte Ableitung einer gebrochen-rationalen Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{P(x)}{Q(x)} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{Z(x)}{N(x)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N(x)=[Q(x)]^2 \end{eqnarray*}$ zu schwer ist, dann kann man benutzen $\begin{eqnarray*} \mathrm{sign\,}f''(x_0)=\mathrm{sign\,}Z'(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Das alles ist bekannt und auch kein Problem, aber:
Diese Hilfe bezieht sich nur auf gebrochen-rationale Funktionen. Mir fält momentan aber kein Beispiel einer (allgemeinen) gebrochenen Funktion ein, wo man das nicht anwenden könnte. Das Hauptproblem wäre, wenn man in der ersten Ableitung so kürzen könnte, dass (nach dem Kürzen) nicht mehr zwangsläufig $\begin{eqnarray*} N(x)=[Q(x)]^2 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Mir fällt aber ein solches Beispiel einfach nicht ein.

Könnt ihr mir helfen, indem ihr ein Gegenbeispiel findet oder schlüssig erklären könnt, warum diese Hilfe (auch nach möglichen Kürzungsschritten !!!) noch immer Gültigkeit haben sollte? Oder anders: vielleicht findet ihr eine Begründung, warum solche Kürzungen nicht möglich sind, denn auch das würde wahrscheinlich schon ausreichen.

Anmerkung: das ist KEINE Hausaufgabe oder etwas ähnliches, weder für Schule noch für Uni, sondern nur für mich persönlich.

06.04.2006, 11:36

klarsoweit

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RE: Ersatz für 2. oder 3. Ableitung
Also irgendwie habe ich das Prinzip noch nicht verstanden. Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-1}{x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$ .

Da wäre also Z(x) = -1 und jetzt soll $\begin{eqnarray*} sign f''(x_0) = sign Z'(x_0) \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

06.04.2006, 11:47

mercany

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RE: Ersatz für 2. oder 3. Ableitung

Zitat:

Original von klarsoweit
Also irgendwie habe ich das Prinzip noch nicht verstanden. Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-1}{x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$ .

Da wäre also Z(x) = -1 und jetzt soll $\begin{eqnarray*} sign f''(x_0) = sign Z'(x_0) \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

So habe ich das eigentlich auch verstanden.

Für $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ wäre dann aber definitiv $\begin{eqnarray*} \text{sgn}(2) \neq \text{sgn}(-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ , nach der Definition der Signumfunktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

06.04.2006, 11:52

klarsoweit

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RE: Ersatz für 2. oder 3. Ableitung
Wobei Z'(x) aber Null ist, also:
$\begin{eqnarray*} \text{sgn}(2) \neq \text{sgn}(0) \end{eqnarray*}$

06.04.2006, 12:04

mercany

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RE: Ersatz für 2. oder 3. Ableitung

Zitat:

Original von klarsoweit
Wobei Z'(x) aber Null ist, also:
$\begin{eqnarray*} \text{sgn}(2) \neq \text{sgn}(0) \end{eqnarray*}$

Uppsss, hast du recht!
Da hab ich ausversehen ganz $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ benutzt.

Naja, an der Tatsache, dass es nicht stimmt, ändert sich aber nichts. smile

Gruß, mercany

06.04.2006, 13:48

N8schichtler

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RE: Ersatz für 2. oder 3. Ableitung
Hmm, zugegeben, ich hätte es besser beschreiben können.
Es geht um den Ersatz der 2. Ableitung bei der Berechnung von Extrema bzw. der 3. Ableitung bei der Berechnung von Wendestellen.
Jetzt sollte es klarer sein.

Kann es euch gerne auch noch genauer ausführen, schaffe das aber erst heute Abend.

06.04.2006, 13:55

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Ich weiß nicht so richtig, worauf du hinaus willst...

Vielleicht spielst du auf das "Kürzen" an, was man beim Ableiten von gebrochen rationalen Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)^m},\; m>1 \end{eqnarray*}$ mittels Quotientenregel immer vornehmen kann. Das kann man aber umgehen, indem man gleich $\begin{eqnarray*} f(x)=P(x)Q(x)^{-m} \end{eqnarray*}$ mittels Produktregel ableitet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = P'(x)Q(x)^{-m} + P(x)(-m)Q(x)^{-m-1}Q'(m) = \frac{P'(x)Q(x) - mP(x)Q'(m)}{Q(x)^{m+1}} \end{eqnarray*}$

Geht das in die Richtung? verwirrt

06.04.2006, 14:20

klarsoweit

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Ok. Ich denke, ich habe es verstanden. Wir haben also folgendes:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} \end{eqnarray*}$ mit f'(x0) = 0

Dann bilden wir mal die Ableitungen. Ich lasse in den Formeln das Argument x mal weg:

$\begin{eqnarray*} f' = \frac{Z'N - ZN'}{N^2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f'' = \frac{(Z''N - ZN'') \cdot N^2 - (Z'N - ZN') \cdot 2NN'}{N^4} \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} Z'(x_0)N(x_0) - Z(x_0)N'(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist also:

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = \frac{(Z''(x_0)N(x_0) - Z(x_0)N''(x_0)) \cdot N^2(x_0)}{N^4(x_0)} \end{eqnarray*}$

In der Tat reicht es für das Vorzeichen der 2. Ableitung bei x0, das Vorzeichen der Ableitung des Zählers der 1. Ableitung zu prüfen.

06.04.2006, 15:28

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@N8schichtler

Schön, dass du noch die Info rausgerückt hast, dass es sich nur um Extremstellenkandidaten $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , d.h. solche mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ handelt! (Hatte ich in meinem letzten Beitrag noch nicht mitgekriegt.)

Das hätte in den Eröffnungsbeitrag gehört...

@klarsoweit

Hast du dich nicht ein wenig in den Ableitungen verzählt? Augenzwinkern

Wir haben $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} Z(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt $\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{Z'N - ZN'}{N^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt dann einfach

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = \frac{Z'(x_0)}{N(x_0)} = \frac{Z'(x_0)}{Q(x_0)^2} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist das gleiche Vorzeichen dann erklärt. Hierbei ist aber $\begin{eqnarray*} N(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ essentiell, was für $\begin{eqnarray*} N(x)=Q(x)^2 \end{eqnarray*}$ automatisch erfüllt ist, für andere nach irgendwelchem "Kürzen" entstandenen $\begin{eqnarray*} N(x) \end{eqnarray*}$ aber nicht mehr zwingend!

06.04.2006, 22:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Arthur Dent
@klarsoweit
Hast du dich nicht ein wenig in den Ableitungen verzählt? Augenzwinkern

Ich denke nicht. Also ich habe mit meiner Rechnung komplett von vorne begonnen. Das heißt, ich nehme eine Funktion, die aus Zähler und Nenner besteht, bei der die 1. Ableitung an x0 Null ist. Und dann bin ich auf das gewünschte Ergebnis gekommen.

06.04.2006, 22:38

N8schichtler

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Schön, dass du noch die Info rausgerückt hast ...Das hätte in den Eröffnungsbeitrag gehört...

Ja, da hast du Recht und das tut mir auch leid.

Zitat:

Original von Arthur Dent
Damit ist das gleiche Vorzeichen dann erklärt. Hierbei ist aber $\begin{eqnarray*} N(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ essentiell, was für $\begin{eqnarray*} N(x)=Q(x)^2 \end{eqnarray*}$ automatisch erfüllt ist, für andere nach irgendwelchem "Kürzen" entstandenen $\begin{eqnarray*} N(x) \end{eqnarray*}$ aber nicht mehr zwingend!

Ja, genau das ist es, warum ich gefragt habe. Die Frage ist nämlich: gibt es irgend eine gebrochene Funktion (muss nicht gebrochen-rational sein), bei der man so kürzen kann, dass $\begin{eqnarray*} N(x) \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen ändert?

06.04.2006, 23:22

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Die Frage ist doch im Prinzip bereits beantwortet: Wenn man z.B. wie von mir oben erwähnt eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)^2} \end{eqnarray*}$ hat mit Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{P'(x)Q(x) - 2P(x)Q'(m)}{Q(x)^3} =: \frac{Z(x)}{Q(x)^3} \end{eqnarray*}$ hat und dazu noch eine Extremstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Q(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ hat, dann geht deine Regel schief.

Konkretes Bsp.:

$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{x+1}{x^2}\\ f'(x) &=& \frac{-(x+2)}{x^3}\\ f''(x) &=& \frac{2(x+3)}{x^4} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} x_0=-2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Z(x)=-(x+2) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} Z'(x)=-1<0 \end{eqnarray*}$ .

Aber: $\begin{eqnarray*} f''(x_0)>0 \end{eqnarray*}$

07.04.2006, 10:01

klarsoweit

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Vielleicht reden wir hier irgendwie aneinander vorbei oder ich habe es immer noch nicht ganz verstanden.
Also ich habe Funktionen Z(x) und N(x) und bilde daraus die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} \end{eqnarray*}$

ACHTUNG: meine Bezeichnungen haben nichts mit den Bezeichnungen an anderer Stelle in diesem Thread zu tun.

Die 1. Ableitung ist:
$\begin{eqnarray*} f' = \frac{Z'N - ZN'}{N^2} \end{eqnarray*}$

Es soll gelten, daß f'(x0) = 0 ist, das heißt, es gilt:
$\begin{eqnarray*} Z'(x_0)N(x_0) - Z(x_0)N'(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

Es soll nun das Vorzeichen von f''(x0) bestimmt werden, um die Extremwertsbedingungen zu prüfen. Wie ich oben gezeigt habe, reicht es, das Vorzeichen der Ableitung des Zählers der 1. Ableitung für x0 festzustellen, also das Vorzeichen von: (Z'N - ZN')'(x0) = (Z''N - ZN'')(x0)

Dies gilt ohne jegliche Einschränkung. Man muß nur Z'' und N'' und dann (Z''N - ZN'')(x0) berechnen. Alternativ kann man auch den Zähler der 1. Ableitung ableiten. Einzige Bedingung dafür ist, daß die 1. Ableitung nicht gekürzt wird.

07.04.2006, 10:15

N8schichtler

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Ich danke euch beiden. Einig sind wir uns ja, dass es nur dann sicher funktioniert, wenn man zuvor nicht kürzt, da man dadurch Vorzeichen verlieren kann und Arthur hat dazu auch ein schönes Beispiel gegeben.

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