Induktionsaufgabe - bitte um Erklärung...

06.04.2006, 11:31

Lisbeth

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Induktionsaufgabe - bitte um Erklärung...

Hey,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Betrachten Sie die Summe sn=2+4+6+...+2*n, n ist Element von N*, d.h. die Summe der ersten n geraden Zahlen.

a) berechnen Sie s1, s2, s3, ... so lange, bis SIe einen allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können.

b) beweisen Sie diese Vermutung durch vollständige Induktion.

Kann mir jemand diese Aufgabe erklären? Ich habe x-mal mein Studienheft durchgelesen, nur leider verstehe ich Bahnhof... geschockt

geschockt

Bitte helft mir...

LG
Lisbeth traurig

traurig

06.04.2006, 11:47

JochenX

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wo hängts denn?
berechne mal s1,s2,s3 usf., hast du das schon gemacht?

06.04.2006, 14:47

Lisbeth

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wie berechne ich s1, s2, s3, ...? Einfach durch Einsetzen? verwirrt

verwirrt

06.04.2006, 14:50

klarsoweit

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Genau. s1 erhältst du, wenn du n=1 einsetzt, s2, s3, usw. analog.

06.04.2006, 14:57

Lisbeth

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ok, dann setze ich zuerst n=1 ein und erhalte:

s1=2+4+6+...+2*1
für n=2
s2=2+4+6+...+2*2
usw.

ich verstehe jetzt hierbei den Sinn nicht. Was wäre ein allgemein gültiger Ausdruck für sn, und was berechne ich für das ... der oberen Rechnung???
Matheabi per Fernlehrgang kommt mir manchmal vor wie chinesisch... traurig

traurig

06.04.2006, 14:59

-felix-

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$\begin{eqnarray*} s_1 = 2 + 4 + 6 + \ldots + 2*1 \end{eqnarray*}$
ist unsinn, denn du hörst ja schon bei 2 auf, also $\begin{eqnarray*} s_1 = 2 \end{eqnarray*}$
analog:
$\begin{eqnarray*} s_2 = 2+2\cdot2 = 2+4 = 6 \end{eqnarray*}$

kannst du jetzt mal $\begin{eqnarray*} s_3, s_4, s_5 \end{eqnarray*}$ bilden?

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06.04.2006, 15:01

Lisbeth

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...hab eben mal weitergerechnet, und mir fällt auf, dass 2+4+6... in zweierschritt dasteht (gerade Zahlen). Ab n=4 würde dann auch immer ne gerade Zahl rauskommen, und würde wahrscheinlich passen(?!) Bin ich auf dem richtigen Weg?

06.04.2006, 15:03

Lisbeth

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@felix: hab Deine Antwort erst jetzt gesehen - Danke, aber ich verstehe gar ncihts verwirrt

verwirrt

Kannst Du mir das Schritt für Schritt erklären?

06.04.2006, 15:07

-felix-

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also, $\begin{eqnarray*} s_n = 2 + 4+ 6 + \ldots + 2n \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass du für eine beliebige zahl n eine summe berechnest. diese summe hat immer das selbe muster, nämlich einfach alle geraden zahlen zusammenzählen, bis du bei der zahl $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ angelangt bist.
im falle $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ also alle geraden zahlen zusammenzählen, bis du bei $\begin{eqnarray*} 1\cdot 2= 2 \end{eqnarray*}$ angelangt bist, also
$\begin{eqnarray*} s_1 = 2 \end{eqnarray*}$
im falle $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ also alle geraden zahlen zusammenzählen, bis du bei $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2= 4 \end{eqnarray*}$ angelangt bist, also
$\begin{eqnarray*} s_1 = 2+4 = 6 \end{eqnarray*}$
im falle $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ also alle geraden zahlen zusammenzählen, bis du bei $\begin{eqnarray*} 3\cdot 2= 6 \end{eqnarray*}$ angelangt bist, also
$\begin{eqnarray*} s_1 = 2+4+6 = 12 \end{eqnarray*}$

siehst du, wie es weiter geht?

06.04.2006, 15:16

Lisbeth

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ich glaube, ich verstehe jetzt:

n=4 2*4=8 also s4=2+4+6+8=20

n=5 2*5=10 also s5=2+4+6+8+10=30 usw. Richtig?

und der allgemeingültige Ausdruck wäre dann?!

06.04.2006, 15:17

Lisbeth

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ups kleine Rechenfehlerchen...ich hoffe Du verzeihst - es muss heißen s4=21 und s5=31 LOL Hammer

LOL Hammer

06.04.2006, 15:20

JochenX

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schreib dir die Zahlen mal auf
in der Reihenfolge s1, s2,...
{2,6,12,20,30,.....} vielleicht fällt dir ja was auf; ganz nebenbei kennst du die Summe der ersten n Zahlen nah Gauß?

Induktionsworkshop:
[Workshop] Vollständige Induktion

Gruß Jochen und

Nein, S4,S5 waren mit 20,30 richtig
du addierst nur über gerade Zahlen (2,4,6 usf.) da kann NIE was ungerades rauskommen

06.04.2006, 15:27

Lisbeth

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Zitat:

Original von Lisbeth
ich glaube, ich verstehe jetzt:

n=4 2*4=8 also s4=2+4+6+8=20

n=5 2*5=10 also s5=2+4+6+8+10=30 usw. Richtig?

und der allgemeingültige Ausdruck wäre dann?!

ich glaub ich trink jetzt mal nen starken Kaffee...wie peinlich...bitte überlesen....

06.04.2006, 15:28

Lisbeth

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Zitat:

Original von LOED
schreib dir die Zahlen mal auf
, S4,S5 waren mit 20,30 richtig
du addierst nur über gerade Zahlen (2,4,6 usf.) da kann NIE was ungerades rauskommen

Danke, das habe ich auch gerade bemerkt...peinlich...

vielen lieben Dank schonmal...

06.04.2006, 15:30

Lisbeth

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sorry, das mit dem Zitieren klappt irgendwie nicht...das war natürlich alles auf meinen dummen Rechenfehler bezogen. Möchte da jetzt keine Verwirrungen reinbringen... unglücklich

unglücklich

06.04.2006, 15:33

JochenX

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dann ohne verwirrung in aller Ruhe smile

smile

hast du schon eine Vermutung?
kennst du die Formel für die Summe der ersten n Zahlen [latex}\sum_{i=1}^{n}~i=\frac{n(n+1)}{2}[/latex]? damit wirds ganz einfach.

Sonst schaus dir noch mal an, Tipp: 2=1*2, 6=2*3 *dumdidum*

06.04.2006, 15:34

Lisbeth

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@loed: Danke für den Link...leider hatte ich das noch nicht. Das kommt wohl im nächsten Studienheft dran. verwirrt

verwirrt

06.04.2006, 15:37

JochenX

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Zitat:

Sonst schaus dir noch mal an, Tipp: 2=1*2, 6=2*3 *dumdidum*

kriegst du damit denn schon mal die Vermutung der allgemeinen Formel hin?
Versuch das mal fortzusetzen.... [auf s3,s4,...]

Induktionsverfahren hattet ihr aber bestimmt schon.

06.04.2006, 15:45

Lisbeth

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ja, die vollständige Induktion + Peanosches Axiomensystem (das alles ist aber eher für Mathestudenten erklärt, als für Laien wie mich...leider) hatten wir.

Mir fällt auf das das Ergebnis gerade Zahlen sind, und n=natürliche Zahlen ohne Null (N*)

...

06.04.2006, 15:47

JochenX

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hmm, hier noch mal mein Tipp.....

s1=2=1*2
s2=6=2*3
s3=12=3*4
s4=?

MEHR sage ich dazu nicht

jetzt stell mal eine Vermutung für sn auf, jetzt musst du es sehen

achja, das Induktionsprinzip kannst du im Workshop gut lernen.
Es ist eine Art "Dominoeffekt"-Prinzip, schau dir den mal an.

06.04.2006, 15:47

-felix-

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versuche das nochmals fortzusetzen:
$\begin{eqnarray*} s_1 = 2 = 1\cdot 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2 = 6 = 2\cdot 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3 = 12 = 3\cdot 4 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} s_n = ? \end{eqnarray*}$

und diese formel beweist du dann über vollständige induktion

06.04.2006, 15:54

Lisbeth

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ich werd mich jetzt mal im Workshop umsehen, und vielleicht komm ich dann drauf...Danke vorerst für Eure Hilfe...wenn ich auf eine mögliche Lösung komme, werd ich sie Euch schreiben, ok?
LG und bis dann

13.04.2006, 14:11

Lisbeth

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Leider komme ich nicht drauf... traurig

traurig

ich glaub die Aufgabe wird nix...

13.04.2006, 14:14

JochenX

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Zitat:

Original von -felix-
$\begin{eqnarray*} s_1 = 2 = 1\cdot 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2 = 6 = 2\cdot 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3 = 12 = 3\cdot 4 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} s_n = ? \end{eqnarray*}$

also das du da keine Regelmäßigkeit entdecken kannst, das GLAUBE ich dir NICHT.

13.04.2006, 14:15

klarsoweit

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Schau nicht auf die Zahlen 2, 6 und 12, sondern auf die Zahlen, die multipliziert werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2006, 14:20

Lisbeth

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von -felix-
$\begin{eqnarray*} s_1 = 2 = 1\cdot 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2 = 6 = 2\cdot 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3 = 12 = 3\cdot 4 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} s_n = ? \end{eqnarray*}$

also das du da keine Regelmäßigkeit entdecken kannst, das GLAUBE ich dir NICHT.

vielleicht Denke ich zu kompliziert, aber ich komme wirklich nicht drauf.... unglücklich

unglücklich

13.04.2006, 14:23

klarsoweit

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Heidinei!
s_1 = 1 * 2
s_2 = 2 * 3
s_3 = 3 * 4
s_n = ? * ?

13.04.2006, 14:25

Lisbeth

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Zitat:

Original von klarsoweit
Schau nicht auf die Zahlen 2, 6 und 12, sondern auf die Zahlen, die multipliziert werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

ok, es geht immer mit der vorherigen Zahl weiter --> 3*4, 4*5, 5*6 usw.
aber was gilt dann für sn??

13.04.2006, 14:30

Lisbeth

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sn=n*n+1 für alle n e N* ???

13.04.2006, 14:31

klarsoweit

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Hurra!

Freude

Aber bitte mit Klammer: sn=n*(n+1)

13.04.2006, 14:31

JochenX

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Klammern!
s_n=n*(n+1), war das so schwer?

das jetzt per Induktion zeigen.....

edit: Herr Klarsoweit, ich zieh mich zurück smile

smile

13.04.2006, 14:45

Lisbeth

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puhhh, endlich ist der Groschen gefallen Tanzen

Tanzen

nächster Schiitt: bitte korrigieren bzw. erklären...

Beweis
I Induktionsanfang:
zu zeigen: A(1), d.h. s1=1(1+1)=2

Nachweis: s1=1(1*2)=2 nach Definition der Summe sn

II Induktionsschluss:
A(k) --> A(k+1)
Ind.Voraussetzung: A(k), d.h., sn=n(n+1)
zu zeigen (Ind. Folgerung): ??

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

13.04.2006, 14:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lisbeth
A(k) --> A(k+1)

Da es um eine Aussage für alle natürlichen Zahlen n geht, solltest du auch n und nicht k verwenden. jetzt ist also:
A(n): s_n = n*(n+1)
Was ist dann A(n+1) ?

13.04.2006, 15:01

Lisbeth

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[/quote]
Da es um eine Aussage für alle natürlichen Zahlen n geht, solltest du auch n und nicht k verwenden. jetzt ist also:
A(n): s_n = n*(n+1)
Was ist dann A(n+1) ?[/quote]
das ist dann wohl quatsch...

ich blicke bei dem System einfach nicht durch :-(

13.04.2006, 15:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Fassen wir es ausführlich in Worten.
Du hast eine Aussage A(n), die besagt:
Bildet man die Summe s_n der ersten n geraden natürlichen Zahlen, so erhält man den Wert n*(n+1).

Aus dieser Aussage A(n) ist im Induktionsschritt die Aussage A(n+1) zu folgern.
Also wäre es ganz gut, wenn man mal die Aussage A(n+1) hinschreibt.
Das heißt: überall, wo in A(n) das n steht, muß n durch n+1 ersetzt werden.
Das mach jetzt mal.

13.04.2006, 15:18

Lisbeth

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.

I. Induktionsanfang:
zu zeigen: A(n), d.h. s_1=1(1+1)=2

Nachweis: s_1=1(1*2)=2 nach Definition der Summe sn

II Induktionsschluss:
A(n) --> A(n+1)
Ind.Voraussetzung: A(n), d.h., sn=n(n+1) verwirrt

verwirrt

(ich blamiere mich wohl bis auf die Knochen...

13.04.2006, 15:22

klarsoweit

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Soweit ok. Aber dein Induktionsziel ist A(n+1), also s_(n+1) = ....
Die Pünktchen solltest du ausfüllen.

13.04.2006, 15:40

Lisbeth

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Zitat:

Original von klarsoweit
Soweit ok. Aber dein Induktionsziel ist A(n+1), also s_(n+1) = ....
Die Pünktchen solltest du ausfüllen.

s_(n+1) = n (ehrlichgesagt rate ich jetzt, weil ich wohl gerade ein dickes Brett vorm Kopf habe)

13.04.2006, 15:50

klarsoweit

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Nee, das kann's nicht sein.
s_n heißt doch: nehme die Zahl n und multipliziere mit der nächsten zahl, also n+1.

Und das ganze nun für s_(n+1). Los, so schwer ist es wirklich nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2006, 16:01

Campbells

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nee, das kann's nicht sein.
s_n heißt doch: nehme die Zahl n und multipliziere mit der nächsten zahl, also n+1.

Und das ganze nun für s_(n+1). Los, so schwer ist es wirklich nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Klarsoweit: Ich danke Ihnen für Ihre Mühe, aber ich glaube ich bin mit meinem Mathe am Ende... Klo

Klo

ich versteh's einfach nicht...

war, als ich das Thema schrieb, noch nicht registriert

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