Punkt durch Schnittwinkel errechnen?

30.06.2008, 19:02

spurius

Punkt durch Schnittwinkel errechnen?

Hallo,
ich habe 3 bekannte Punkte und einen 4. Punkt, dessen Koordinaten unbekannt sind, bekannt sind nur die Winkel, unter denen der 4. Punkt die 3 anderen Punkte sieht.
Der unbekannte Ounkt ist der grüne Punkt in der Mitte, die 3 roten Punkte sind bekannt.
Zur Veranschaulichung die SKizze.
Mein Ansatz wäre, 2 Richtungsvektoren in Richtung des unbekannten Punktes zu setzen und zu schneiden mit bekanntem Winkel, wobei das erstmal allgemein sein müsste und dann aus den sich ergebenden 2 Lösungen die Richtige mit Hilfe des 3. Punktes auszurechen. Leider ergibt sich dabei ein Mordsdrum an Rechnung, das ich nicht auflösen kann, trotz Mathe-LK... ist aber schon ein Jahr her das ABI.

30.06.2008, 19:13

riwe

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RE: Punkt durch Schnittwinkel errechnen?
und was heißt das genau: winkel unter dem er sieht.... verwirrt

30.06.2008, 19:55

spurius

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Damit meine ich beispielsweise den Winkel linker,oberer Punkt, grüner Punkt, rechter oberer Punkt.

02.07.2008, 14:37

Spurius[]

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*Push* wär echt super wenn sich das mal einer genauer anschauen würde, ich will damit eine Infrarot Navigation bauen.

02.07.2008, 15:44

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Da fehlen noch ein paar Infos: Befinden wir uns in der Ebene, oder im Raum?

Weil, in der Ebene ist einer der drei Winkel redundant, da die Winkelsumme der drei Winkel $\begin{eqnarray*} 360^{\circ} \end{eqnarray*}$ beträgt. Mit den gegebenen drei Eckpunkten und den drei (bzw. wie eben gesagt zwei) Winkeln ergibt sich der gesuchte Punkt als Schnittpunkt von Fasskreisbögen.

Im Raum funktioniert das prinzipiell ähnlich, nur dass dann alle drei Winkel benötigt werden, und sich der gesuchte Punkt als Schnittpunkt von drei ... ja, wie nennt man diese verwirrt

... Fassoberflächen (sind ja i.a. nicht mal Kugeloberflächenteile, sondern irgendwelche Rotationskörper...) ergibt.

02.07.2008, 17:30

Spurius[]

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Hallo,
das ganze ist 2-dimensional, also in der Ebene. Ich hatte vorgehabt, das vektoriell zu lösen, aber nachdem ich da nicht weiterkomme ist das mit den Fasskreisbögen/(Thaleskreis evtl.?) vielleicht die bessere Lösung. Wie genau würdest du das angehen?

02.07.2008, 17:35

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Na das, was da konstruiert wird, kannst du natürlich auch berechnen:

Aus den gegebenen Eckpunkten und Winkeln kannst du die Fasskreismittelpunkte und -radien berechnen. Und dann musst du daraus nur noch die Schnittpunkte dieser Fasskreise berechnen. Ist soweit überschaubar, braucht natürlich ein paar Zeilen zum Aufschrieb.

02.07.2008, 18:02

Spurius[]

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Ok, aber berechne ich das jetzt vektoriell oder wie macht man das am einfachsten?

02.07.2008, 18:59

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Tja, vektoriell, oder mit Koordinaten, oder mit komplexen Zahlen ... kommt letztendlich vom Aufwand etwa beim selben raus.

03.07.2008, 00:09

riwe

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ich lobe mir da den geometrischen weg, das ist eine spielerei gegen das rechnen.

ich hab´s mal so versucht:
transformiere/transpotiere das 3eck wie im bilderl,
also A(0/0), B(2b/0) und C(2c/2d)
dann geht es mit dem faßerlkreis ganz gut, oder auch nicht unglücklich

03.07.2008, 00:18

puerquito

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vektoriell geht es natürlich auch. stell doch einfach mit Hilfe der bekannten Winkeln die Richtungsvektoren und danach die Gleichungen zu zweien der 3 blauen Geraden auf und ermittele dann den Schnittpunkt der beiden.

03.07.2008, 13:46

Spurius[]

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Hm, geometrisch kann ich das nicht machen, die Berechnung muss auf einem Mikrocontroller laufen, aber ich denke mit dem Fasskreisbogen sollte das dann wirklich kein Problem mehr sein! Vielen Dank für eure Hilfe!

03.07.2008, 15:07

riwe

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Zitat:

Original von Spurius[]
Hm, geometrisch kann ich das nicht machen, die Berechnung muss auf einem Mikrocontroller laufen, aber ich denke mit dem Fasskreisbogen sollte das dann wirklich kein Problem mehr sein! Vielen Dank für eure Hilfe!

na dann viel spaß.
sonst hören wir ja wieder von dir unglücklich

der faßkreisbogen ist auf jeden fall das mittel der wahl, vermute ich unglücklich

04.07.2008, 18:01

Poff

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Du siehst a unter wa und b unter wb, dann kannst XC (Bild Werner) so berechnen

$\begin{eqnarray*} t:=\frac{b}{sin(wb)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s:=\frac {a}{sin(wa)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} XC = -{\frac {s\,t\sin \left( \gamma+{\it wa}+{\it wb} \right) }{\sqrt {{s}^{2}+{t}^{2}+2\,s\,t\cos \left( \gamma+{\it wa}+{\it wb} \right) }}} \end{eqnarray*}$

ich hoffe es stimmt. Jetzt musst das leider noch in Koord's umdüddeln Augenzwinkern

04.07.2008, 18:41

riwe

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Zitat:

Original von Poff
Du siehst a unter wa und b unter wb, dann kannst XC (Bild Werner) so berechnen

$\begin{eqnarray*} t:=\frac{b}{sin(wb)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s:=\frac {a}{sin(wa)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} XC = -{\frac {s\,t\sin \left( \gamma+{\it wa}+{\it wb} \right) }{\sqrt {{s}^{2}+{t}^{2}+2\,s\,t\cos \left( \gamma+{\it wa}+{\it wb} \right) }}} \end{eqnarray*}$

ich hoffe es stimmt. Jetzt musst das leider noch in Koord's umdüddeln Augenzwinkern

hallo poff, schön dass du wieder einmal da bist.
meine formel für die koordinaten von X schaut gemütlicher aus unglücklich

04.07.2008, 23:21

Poff

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Zitat:

Original von riwe
meine formel für die koordinaten von X schaut gemütlicher aus unglücklich

Hallo Werner
Wenn das eine Formel für die Koordinaten wäre die immer passt, wärs nichtmal übel. Sie passt aber nicht blind und da fängts dann schon an im Microcontroller. Der braucht narrensichere Lösungen, wie dein Excel auch. Augenzwinkern

04.07.2008, 23:46

riwe

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schaut halbwegs gut aus, was ich bis jetzt probiert habe.
aber wer weiß das schon so genau, ich nicht unglücklich

EUKLID und EXCEL sagen, es geht so unglücklich

edit: immer mit derselben formel gebastelt

05.07.2008, 12:13

Leopold

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@ Werner

Du sprichst dauernd von einer Formel. Ich sehe sie nur nicht ... verwirrt

Ich mache es wie Werner, nur strecke ich das Dreieck zusätzlich. Zuerst also der Spezialfall:

$\begin{eqnarray*} A' = (0,0) \, , \ \ B' = (1,0) \, , \ \ C' = (u,v) \end{eqnarray*}$

Die Winkel, unter denen die Strecken $\begin{eqnarray*} C'A' \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A'B' \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X' = (x',y') \end{eqnarray*}$ aus erscheinen, bezeichne ich mit $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

Mit den Hilfsgrößen

$\begin{eqnarray*} p = \cot \gamma + u \cdot \cot \beta - v \, , \ \ q = v \cdot \cot \beta + u - 1 \, , \ \ \lambda = \frac{p + q \cdot \cot \gamma}{p^2 + q^2} \end{eqnarray*}$

gilt dann

$\begin{eqnarray*} x' = \lambda p \, , \ \ y' = \lambda q \end{eqnarray*}$

Der allgemeine Fall

$\begin{eqnarray*} A = \left( a_1 , a_2 \right) \, , \ \ B = \left( b_1 , b_2 \right) \, , \ \ C = \left( c_1 , c_2 \right) \end{eqnarray*}$

wird dann durch eine Ähnlichkeitsabbildung auf den Spezialfall zurückgeführt:

1. Verschieben des Dreiecks, so daß $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in den Ursprung fällt.

2. Drehen des Dreiecks um $\begin{eqnarray*} - \varphi \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der Winkel ist, unter dem $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ gegen die Horizontale geneigt ist.

3. Strecken des Dreiecks mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Länge von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ ist.

Mit

$\begin{eqnarray*} T = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 & b_2 - a_2 \\ - \left( b_2 - a_2 \right) & b_1 - a_1 \end{pmatrix} \, , \ \ c^2 = \left( a_1 - b_1 \right)^2 + \left( a_2 - b_2 \right)^2 \end{eqnarray*}$

gilt also

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ \ \ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \frac{1}{c^2} \cdot T \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ \ \ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = T^{*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

worin $\begin{eqnarray*} T^{*} \end{eqnarray*}$ die transponierte Matrix von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bezeichne.

Um noch einmal alles zusammenzufassen:

a) Zunächst müssen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ als Koordinaten von $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Abbildung $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ ermittelt werden (einfach $\begin{eqnarray*} x = c_1, \, y = c_2 \, ; \ x' = u, \, y' = v \end{eqnarray*}$ spezialisieren).

b) Dann werden die Hilfsgrößen $\begin{eqnarray*} p,q,\lambda \end{eqnarray*}$ bestimmt und damit, wie oben ausgeführt, $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ (jetzt natürlich als Koordinaten von $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ ).

c) Damit geht man dann in $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ und erhält so die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} X = (x,y) \end{eqnarray*}$ .

Mit ein paar geschickt definierten Funktionen sollte sich das problemlos programmieren lassen.

Jedenfalls scheint Euklid die richtigen Koordinaten zu berechnen (siehe Anhang).

05.07.2008, 13:43

riwe

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ich war halt neugierig, was spurius fabriziert.

"meine" Formel als schnittpunkt der beiden Faßkreise bzw. deren Ergebnis steht in der EUKLID-Datei.

(man sorge im Programm für $\begin{eqnarray*} c=0\to \alpha=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ,
bzw. vermeide die üblichen Bosheiten, wenn der Nenner $\begin{eqnarray*} N=0 \end{eqnarray*}$ )

edit: wenn ich das alles richtig übersetze, steht bei mir dasselbe, nur halt weniger elegant unglücklich

10.07.2008, 02:01

Poff

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Die ungemütliche Formel, narrenversichert.

Die Winkel (wa', wb' und gamma) sind positiv und kleiner 180° zu nehmen.

Du siehst a unter wa' und b unter wb'.
Schaust du auf die Innenseite (besser die Innenseite eines Winkelschenkel) dann ist Blick +1, sonst -1,
(Umkreis) ist +1 falls du innerhalb bist und -1 für außerhalb.

Es sei
wa: = wa' *(Blick_wa')
wb: = wb' *(Blick_wb')
neg:= (Umkreis)*(Blick_wa')*(Blick_wb')

Dann gilt für die Stecke XC (Bild), unabhängig vom Beobachtungsort X

$\begin{eqnarray*} t:=\frac{b}{sin(wb)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s:=\frac {a}{sin(wa)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} XC*(neg) = -{\frac {s\,t\sin \left( \gamma+{\it wa}+{\it wb} \right) }{\sqrt {{s}^{2}+{t}^{2}+2\,s\,t\cos \left( \gamma+{\it wa}+{\it wb} \right) }}} \end{eqnarray*}$

Das Umdüddeln in Koord's bleibt unberührt bestehen Augenzwinkern

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