Mengen

06.04.2006, 16:20

KiLoUi

Mengen

Sei f:M-->N eine Abbildung und seien A1,A2 Teilmengen von M, sowie B1,B2 Teilmengen von N. Zeigen Sie:

(i) f[A1 $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ A2] = f[A1] $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ f[A2]

f[A1 $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ A2] = {f(x) | x€ A1 oder x€A2}
={f(x)|x€A1} $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ {f(x)|x€A2}
=f[A1] $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ f[A2]

(ii) f[A1 schnitt A2] teilmenge f[A1] schnitt f[A2]

f[A1 schnitt A2] = { f(x) |x€A1 ^ x € A2}
teilmenge {f(x) | x€A1} schnitt {f(x) | x€A2}
= f[A1] schnitt f[A2]

(iii) $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [ B1 teilmenge B2] ={ x| f(x) €B1 oder f(x)€ B2}
={x|f(x)€B1} $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ {x|f(x) € B2}
= $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [[B1] schnitt $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [B2]

(iv) $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [ B1 schnitt B2] = $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [ B1] schnitt $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [ B2]

$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [ B1 schnitt B2] ={x|f(x) €B1 ^f(x) € B2}
={x|f(x) € B1} schnitt {x|f(x) €B2}
= $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [B1] schnitt $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [B2]

06.04.2006, 16:20

KiLoUi

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Hab meine Frage vergessen Klo

Stimmt das so Big Laugh

06.04.2006, 17:29

JochenX

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so viele Fragen auf einmal

mit der ersten bin ich ziemlich einverstanden

Zitat:

(ii) f[A1 schnitt A2] teilmenge f[A1] schnitt f[A2]

f[A1 schnitt A2] = { f(x) |x€A1 ^ x € A2}
teilmenge {f(x) | x€A1} schnitt {f(x) | x€A2}
= f[A1] schnitt f[A2]

hast du irgendeinen Grund, dieses teilmengenzeichen zu behaupten?
sprich: warum gilt das, das sehe ich nicht sofort, das müsstest du begründen.

Rest habe ich mir noch nicht angeschaut.

06.04.2006, 17:39

KiLoUi

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mhhh eigetlich habe ich es nur gemacht damit es paßt smile

Wüßte jez aber auch nicht wie ich es anders machen soll....

06.04.2006, 17:42

mercany

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RE: Mengen

Zitat:

Original von KiLoUi
(iii) $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [ B1 teilmenge B2] ={ x| f(x) €B1 oder f(x)€ B2}
={x|f(x)€B1} $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ {x|f(x) € B2}
= $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [[B1] schnitt $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ [B2]

Da bin ich nicht ganz mit einverstanden, vielleicht verstehe ich es aber auch falsch.
B1 ist Teilmenge von B2. Wenn f(x) in B1 liegt, dann liegt es automatisch auch in B2, wenn es in B2 liegt, nicht aber umbedingt in B1.

Falls ich das richtig verstehe, und du oben bei f^(-1) nur von B1 ausgehst.

Daher kann dann deine letzten beiden Zeilen doch nicht gleich sein verwirrt

Wie gesagt, wahrscheinlich verstehe ich deine Schreibweise aber auch einfach nur nicht. Deshalb warte mal, bis LOED oder so was dazu sagen smile

Gruß, mercany

06.04.2006, 17:44

JochenX

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Tipp:
für Inklusionen $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ nimmst du dir ein allgemeines x aus A her und zeigst (indem du die Bedingungen, die aus x in A folgen umformst), dass dann auch x in B liegt.

$\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ zeigst du dann oft, durch zwei Beweise $\begin{eqnarray*} A \subset B, B \subset A \end{eqnarray*}$ , man nennt das "doppelte Inklusion".

Zitat:

(ii) f[A1 schnitt A2] teilmenge f[A1] schnitt f[A2]

Hier nimmst du also ein Element aus der linken Menge her
sei $\begin{eqnarray*} x \in f(A_1 \cap A_2) => \exists y \in A_1 \cap A_2 ...... => x \in f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$

grob gesprochen smile

edit: ich denke, die letzten beiden sind größtenteils auch "passend hingebogen", oder? Augenzwinkern