e^x=-1 in IC lösen

05.04.2006, 23:45

Daktari

Hab auch mal wieder ne Frage, und dese Thread passt prima Augenzwinkern

Für welche $\begin{eqnarray*} x\in {\mathbb C} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} e^x=-1 \end{eqnarray*}$ ?
da wir uns bei den Komplexen Zahlen befinden, kann man doch 1 schreiben als $\begin{eqnarray*} 1=e^{2k\pi i} \end{eqnarray*}$
dann gilt $\begin{eqnarray*} e^x=-1 <=> e^x+1=0 <=> e^x+e^{2k\pi i}=0 \end{eqnarray*}$
Aber weiter komm ich net
traurig

06.04.2006, 16:37

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Geteilt

Für eine neue Frage bitte immer auch ein neues Thema aufmachen! Die Frage hat in den anderen Thread nun nicht unbedingt so gut gepasst. Außerdem sollen in einem Thread auch wirklich nur Fragen zu den geposteten Beiträgen gestellt werden und keine eigenen neuen Fragen!

Zur Aufgabe: Schreibe $\begin{eqnarray*} x=a+b\operatorname i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und beachte

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^x=\operatorname e^a\cdot \operatorname e^{b\operatorname i}=\operatorname e^a\cdot (\cos b+\operatorname i\cdot \sin b) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

06.04.2006, 22:01

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zur Aufgabe: Schreibe $\begin{eqnarray*} x=a+b\operatorname i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und beachte

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^x=\operatorname e^a\cdot \operatorname e^{b\operatorname i}=\operatorname e^a\cdot (\cos b+\operatorname i\cdot \sin b) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

Danke für die Antwort, hab auch gleich mal versucht a und b zu errechnen.

$\begin{eqnarray*} e^a\cdot (\cos b+\operatorname i\cdot \sin b)=-1=-1=1*(e^{2k\pi i} =1(cos(2k\pi)+isin(2k\pi))=(e^{2k\pi i} =1*cos(2k\pi))=1 \end{eqnarray*}$ .
Also daraus folgt $\begin{eqnarray*} e^a=1 -> a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} e^x=-1 <=> x=1 \end{eqnarray*}$ ?

Stimmt das so?

06.04.2006, 22:12

GastSephiroth

Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du drauf?

hast die Lösung doch selber da stehen:

e^{(2k*pi)*i} = cos(2k*pi) = - 1 (Achtung Vorzeichen bei dir ist falsch)

also

e^a * e ^bi = e^(a + bi) = e^x = -1

richtig a = 0 und was ist b???

06.04.2006, 22:23

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^1 \end{eqnarray*}$ is immer noch $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ . Einfach in meiner Gleichung oben Real- und Imaginärteil vergleichen!
Dann siehst du die Äquivalenz zu $\begin{eqnarray*} \sin b=0\wedge \cos b=-1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \sin b=0\wedge \cos b=-1 \end{eqnarray*}$ wird nun nicht von so vielen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ 's erfüllt. Ok, es sind doch viele, aber es ist einfach, zu lösen. Augenzwinkern

Gruß MSS

06.04.2006, 23:20

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal ein Versuch, mit diesmal hoffentlich richtigen Vorzeichen ^^

$\begin{eqnarray*} e^a(cos(b)+isin(b))=-1=-1*e^{2k\pi i}=-(cos(2k\pi)+i*sin(2k\pi))= 1*(-cos(2k\pi)=e^a(cos(b)+isin(b)) \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$
--> Mit $\begin{eqnarray*} cos(b)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin(b)=0 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} b=(\pi)(4k+1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} x=(4k+1)\pi \end{eqnarray*}$

07.04.2006, 00:26

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum $\begin{eqnarray*} 4k+1 \end{eqnarray*}$ ? Auch $\begin{eqnarray*} \cos 3\pi=-1\wedge \sin 3\pi=0 \end{eqnarray*}$ gilt doch!

Gruß MSS

07.04.2006, 00:34

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

waaaaaah, ich meinte doch

$\begin{eqnarray*} cos(\pi)=-1 \end{eqnarray*}$ . Dann noch die Periode drauf loslassen und fertig.
Keine Ahnung wieso die Periode bei mir auf einmal $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ war....

stmmt's "jetzt" mt $\begin{eqnarray*} x=\pi (2k+1) \end{eqnarray*}$

07.04.2006, 00:36

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Jau, jetzt stimmts! Freude

Gruß MSS

07.04.2006, 15:01

Crock

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zur Aufgabe: Schreibe $\begin{eqnarray*} x=a+b\operatorname i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und beachte

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^x=\operatorname e^a\cdot \operatorname e^{b\operatorname i}=\operatorname e^a\cdot (\cos b+\operatorname i\cdot \sin b) \end{eqnarray*}$ .

Hi,
ich versuche das hier gerade nachzuvollziehen.
Leider fehlt mit der Schritt von
$\begin{eqnarray*} \operatorname e^x=\operatorname e^a\cdot \operatorname e^{b\operatorname i} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \operatorname e^a\cdot (\cos b+\operatorname i\cdot \sin b) \end{eqnarray*}$
Wie ist der Beweis dazu?

//edit: Sorry,
mir ists gerade selbst aufgefallen:
$\begin{eqnarray*} z=r \cdot \left(\cos \varphi + \operatorname i \cdot \sin \varphi \right) = \operatorname e^{\operatorname i \cdot \varphi} \end{eqnarray*}$
Dort ist $\begin{eqnarray*} \varphi = b \end{eqnarray*}$
Eulerform also... ha, das hat was selbst auf die Loesung zu kommen (auch wenn das jetzt keine grosse Leistung war ;-)

Neue Frage »

Antworten »

e^x=-1 in IC lösen

Verwandte Themen