Geraden im projektiven Raum

30.06.2008, 19:32	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Geraden im projektiven Raum hallo, hab hier eine Aufgabe. Hab sie auch schon gelöst und weiß jetzt aber nicht, ob das so richtig ist. und da ich noch mehr Aufgaben der Art habe, würde es mich interessieren, ob des so stimmt. Aufgabe: Beweisen Sie: Je zwei verschiedene Geraden im $\begin{eqnarray} \mathbb P_K^2 \end{eqnarray}$ schneiden sich in genau einem Punkt. Mein Lösungsversuch: Eine Gerade [g] kann man identifizieren mit der Menge der Geraden die durch den Nullpunkt und P gehen, wobei P die Menge der Punkte auf [g] ist. Seien [g], [h] zwei verschiedene Geraden im $\begin{eqnarray} \mathbb P_K^2 ~ [g] \neq [h] \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} [g] = \{0Pi : Pi \in g, i \in I \} \end{eqnarray}$ (0Pi soll dabei eine Gerade sein) $\begin{eqnarray} [h] = \{0Pi' : Pi' \in h, i \in I \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [g] \neq [h] \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0Pi \neq 0Pi'~~ \forall i\in I \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow Pi \neq Pi'~~ \forall i \in I \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} 0 \in 0Pi ~\forall 0Pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \in 0Pi' ~ \forall 0Pi' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow [g] \end{eqnarray}$ schnittmenge $\begin{eqnarray} [h] = 0 \end{eqnarray}$ Zwei beliebige Geraden im $\begin{eqnarray} \mathbb P_K^2 \end{eqnarray}$ haben also nur den Nullpunkte gemeinsam und damit genau einen gemeinsamen Punkt. Vielen Dank schon einmal Luci

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