[Komplexe Zahlen] Geraden- und Kreisgleichung

06.04.2006, 16:41

Crock

[Komplexe Zahlen] Geraden- und Kreisgleichung

Hi,

ich hab mich hier jetzt eine Zeit lang mit Komplexen Zahlen und deren Lineare Transformation auseinander gesetzt. Das ganze hat mich ziemlich fasziniert.

Ich hab jetzt nur ein Verstaendnissproblem oder einen Denkfehler.

Es gibt die Gleichung, die sowohl fuer Gerade als auch fuer Geraden gilt
$\begin{eqnarray*} a\left(x^2+y^2\right)+bx+cy+d=0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x + iy = z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Problem ist folgendes.
Eine Gerade ist, so denke ich doch, ist auch in den komplexen Zahlen durch 2 Punkte bereits fest definiert. Also muessten 2 Punkt $\begin{eqnarray*} z_1, z_2 \end{eqnarray*}$ doch reichen, um eine Gerade vollstaendig zu definieren.
Wuerde ich meine beiden Punkte jedoch einsetzen, haette ich 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten, also ein unloesbares LGS.
Sobald $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist das Ergebnis definitiv ein Kreis, da dies auszuschliessen ist (ich will ja eine Gerade), koennte man a = 0 setzen, aber selbst dann haette ich noch 3 Unbekannte.
Wo ist der Denkfehler oder was habe ich uebersehen?

06.04.2006, 17:03

Leopold

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Für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ stellt die Gleichung nicht in jedem Fall einen Kreis dar. Vielmehr muß auch noch $\begin{eqnarray*} b^2 + c^2 - 4ad > 0 \end{eqnarray*}$ gelten. Und für $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ bekommst du

$\begin{eqnarray*} bx + cy + d = 0 \end{eqnarray*}$

Und diese Gleichung beschreibt nur dann eine Gerade, falls $\begin{eqnarray*} b^2 + c^2 > 0 \end{eqnarray*}$ ist, oder anders gesagt: falls die reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} b,c \end{eqnarray*}$ nicht beide zugleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind. Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} b,c,d \end{eqnarray*}$ sind dann durch die Gerade allerdings nicht eindeutig bestimmt. Du kannst nämlich die Gleichung mit einem reellen $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren, ohne die Gerade zu ändern. Zum Beispiel beschreiben $\begin{eqnarray*} 3x - 5y + 6 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x - \frac{5}{3}y + 2 = 0 \end{eqnarray*}$ dieselbe Gerade ( $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ). Vielleicht kannst du Analytische Geometrie und weißt daher, daß der Normalenvektor einer Geraden nicht eindeutig bestimmt ist. Das ist genau der Hintergrund hier.
So ist es auch nicht verwunderlich, daß dir zwei verschiedene Punkte zwar die Gerade eindeutig festlegen, nicht aber $\begin{eqnarray*} b,c,d \end{eqnarray*}$ .

06.04.2006, 18:19

Crock

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Okay, dann waehle ich mal einen anderen Ansatz:

Ich hab eben in meinem Buch noch eine andere Formel die nur fuer Geraden gilt gefunden:

$\begin{eqnarray*} A\cdot{}z+\bar{A}\cdot{}\bar{z}+2c = 0 \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{C} \wedge c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Dort ist es natuerlich ohne Probleme moeglich mit 2 Punkten die Gerade zu bestimmten. Ist es moeglich, die so errechneten Variablen A und c auf die o.g. Formel zu uebertragen?

Das ist deswegen noetig, weil ich Geraden, die durch 2 Punkte definiert sind, reziprokieren (gibt es das Wort?) muss, und NIcht-Ursprungsgeraden in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ja zu Kreisen werden, und nur bei der oberen Formel funktioniert das, dass der Kehrbruch auch einen Kreis beschreibt, bei dieser hier nicht.

06.04.2006, 18:25

Leopold

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Zitat:

Original von Crock
$\begin{eqnarray*} A\cdot{}z+\bar{A}\cdot{}\bar{z}+2c = 0 \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{C} \wedge c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Auch hier sind $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig bestimmt. Schreibe das reell, dann siehst du, daß da kein Unterschied zum Vorigen ist.

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