Einfache Aufgabe der Gruppentheorie...

Neue Frage »

Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache Aufgabe der Gruppentheorie...
... die ich aber nicht gelöst kriege! Bitte helft mir mal aus, es geht um die Aufgabe 1b) von diesem Blatt

http://www.math.uni-bonn.de/people/anna/...006-blatt01.pdf

Die Richtung kommutativ --> zyklisch ist einfach. Aber die Rückrichtung ist schwer. Ich hatte folgenden Ansatz (sorry, habe es mit Latech einfach nicht hinbekommen):

Sei b ein Element der Gruppe G. Sei b*Z(G) die zugehörige Klasse in der Faktorgruppe. Nach Vorraussetzung soll die Faktorgruppe zyklisch sein, wird also von einem einzigen Element erzeugt, sei dieses mal mit a*Z(G) bezeichnet. Dann gibt es eine natürliche Zahl (sagen wir mal n) mit

b*Z(G) = (a*Z(G)) ^ n = a^n*Z(G).

Und jetzt muß doch irgendwie rauskommen dass b selbst auch im Zentrum liegt oder bin ich aufm Holzweg?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn das für ein "b"? was willst du damit tun!?




Meine Idee grob zusammengefasst:
für ein a aus G

das heißt: nimmst du ein Elemente x her, dann liegt es in GENAU einer der Nebenklassen, insbesondere gilt damit für ein m aus Z und ein z aus Z(G):

jetzt addiere mal dieses x mit einem beliebigen y, das eine ähnliche Form hat.

Bedenke dabei die Zentrumseigenschaft.


Hinweis: "+" ist bei mir die Gruppenverknüpfung, in anbetracht der Tatsache, dass die gruppe nachher abelsch ist, war ich so frei, gleich die Standardverknüpfung für abelsche Gruppen zu nehmen.
Statt + kannst du auch * oder gar nix oder Herzchen oder... schreiben.
Der Vollidiot-Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz und schmerzvoll... traurig

Danke dir Wink
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich's übrigens richtig deute (ja tue ich wohl smile ), besagt das (und das besagt ja die c) gleich hinterher), dass diese Faktorgruppe nach dem Zentrum nur dann zyklisch ist, wenn sie trivial (das Zentrum also ganz G) ist.
Bzw. das aus der Zyklität gleich direkt die Trivialität folgt.

Dinge, die "man" so spontan nicht wusste.
Vielleicht hilfts mir in der Algebra1-Klausur am Dienstag. Big Laugh




Bei euch geht das Studium also schon weiter.... und eure Übungsleiterin hat einen coolen Namen....
Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso besagt dass die c) ? Und nebenbei: Hättest du vielleicht auch einen Tip für die c)?
Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bräuchte auch Hilfe bei der c)... ich hab nichmal einen Ansatz
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

LOED hat es eigentlich schon gesagt, für c) musst du einfach b) richtig anwenden bzw. interpretieren.

Grüße Abakus smile
Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber das sehe ich nicht ?!? Was LOED sagt verstehe ich zwar bis auf wieso hängt das mit der c) zusammen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

was gilt denn, wenn G/Z(G) Primzahlordnung ist?
insbesondere in Zusammenhang mit der b) solltest du darauf kommen.

Hinweis: für JEDE Gruppe von Primzahlordnung gilt eine spezielle Sache
das tolle daran ist sogar: es GIBT zu jeder Primzahl p nur eine Gruppe mit Ordnung p, alle anderen sind isomorph dazu
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn N ein Normalteiler von G ist, dann gilt: .

Grüße Abakus smile
Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
was gilt denn, wenn G/Z(G) Primzahlordnung ist?
insbesondere in Zusammenhang mit der b) solltest du darauf kommen.

Hinweis: für JEDE Gruppe von Primzahlordnung gilt eine spezielle Sache
das tolle daran ist sogar: es GIBT zu jeder Primzahl p nur eine Gruppe mit Ordnung p, alle anderen sind isomorph dazu


Wenn der Index prim wäre, wäre die Gruppe zyklisch (ich weiß nichtmal warum aber das ist wahrscheinlich so, weiß jemand wieso?). Und dann...?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist G/Z(G) zyklisch und dann.... was besagt b) dann über G?
was besagt das dann über Z(G)?



Abakus: im endlichen, sonst wirds gestört smile
Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Das besagt dass G abelsch ist, ja na und? Das kann doch durchaus sein... Also dass G = Z(G)...
Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »

PS: Warum ist die denn dann nun eigentlich zyklisch?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sooo und was ist G/Z(G) für diesen bescheidenen Fall, dass Z(G)=G ist....
hat diese Faktorgruppe denn die Primzahlordnung wie gewünscht!? (bzw. wegen mir auch ist die Anzahl der Nebenklassen diese Primzahlordnung?)
Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Ok soweit habe ich jetzt alles verstanden. Aber wo kann ich nachlesen bzw. wie mache ich mir klar, dass eine Gruppe von Primzahlordnung automatisch zyklisch ist? Und jetzt sag bitte nicht einfach weil alle Gruppen von PZO isomorph zu Z/pZ sind... und wenn doch - wieso?

Und sowieso-danke nochmal für die viele Hilfe heute das ist echt unbezahlbar.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Gruppe der Ordnung p (Nachtrag: genauer! hier natürlich p prim dazusagen!) hat nach Satz von Lagrange nur zwei Untergruppen, eine der Ordnung 1 und eine der Ordnung p.
Nimm ein beliebiges Element außer dem neutralen und betrachte das Erzeugnis.

Betrachte dann den Homomomorphismus von deiner Gruppe nach Z/pZ mit deinem Element von oben (das du inzwischen als .... erkannt hast) auf 1.

fertig ist die Soße.
Der Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, nochmal vielen Dank
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »