(x++7)² = 9 Wurzeln

06.04.2006, 17:31

Mathefan

(x++7)² = 9 Wurzeln

Hi,
Ich hab mal eine Frage zu dem Wurzelziehen von solchen Gleichungen. Also wenn ich obigien Term radiziere dann steht da doch:

$\begin{eqnarray*} (x+7)² = 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> x+7 = \sqrt{9} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <=> x+7 = -\sqrt{9} \end{eqnarray*}$

Aber wieso macht man das? Weil man auf die 9 durch -3 * -3 oder duch 3*3 gekommen sein kann, und man beide Möglichkeiten in betracht ziehen muss, da man x nicht kennt? Oder wieso genau?
Wenn ich nur Wurzel 9 ausrechne gibt es ja nur die eine Lösung 3.

mfG

06.04.2006, 17:36

Dual Space

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RE: (x++7)² = 9 Wurzeln

Zitat:

Original von Mathefan
Aber wieso macht man das? Weil man auf die 9 durch -3 * -3 oder duch 3*3 gekommen sein kann, und man beide Möglichkeiten in betracht ziehen muss, da man x nicht kennt?

Genau!

Zitat:

Wenn ich nur Wurzel 9 ausrechne gibt es ja nur die eine Lösung 3.

Nö, mit der Begründung aus deinem obigen Zitat.

06.04.2006, 17:37

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Das Radizieren ist keine äquivalete Umformung, d.h. (wie Du schon sagtest) es gibt $\begin{eqnarray*} 3*3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -3*-3 \end{eqnarray*}$ und eb kommt beide Male $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ heraus.

EDIT: Mist, war mal wieder zu lahm...

06.04.2006, 17:38

JochenX

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das ist falsch geschrieben!

es muss nicht " <=>.... und <=>....", sondern direkt "<=> (.....)=.. ODER (.....)=..." heißen

das liegt daran, dass zwei Zahlen ...^2=9 erfüllen; W(9) und -W(9), bzw. 3 und -3

allgemein gilt: x^2=y^2 <=> |x|=|y|
hier also |x+7|=|3| <=> |x+7|=3

edit:

Zitat:

Wenn ich nur Wurzel 9 ausrechne gibt es ja nur die eine Lösung 3.

Nö, mit der Begründung aus deinem obigen Zitat

doch, es gibt nur eine Wurzel, das ist richtig smile

06.04.2006, 17:44

Leopold

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Zitat:

Original von Ny
Das Radizieren ist keine äquivalete Umformung

Das stimmt nicht ganz. Das Wurzelziehen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (mit der üblichen Definition der Wurzel als nichtnegativer Zahl, deren Quadrat den Radikanden ergibt) ist sehr wohl eine Äquivalenzumformung auf der Menge der nichtnegativen (!) reellen Zahlen (aus anderen Zahlen kann man ja gar keine Wurzeln ziehen).

Das Quadrieren auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , das ist keine Äquivalenzumformung!

06.04.2006, 17:49

Mathefan

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Ahja, ich versuch das ganze nochmal kurz so zu erläutern wie ich es bis jetzt verstehe, aber ohne Beträge.

Also nehmen wir als Beispiel:
$\begin{eqnarray*} (x+8)² = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+8)²} = \sqrt{25} \end{eqnarray*}$
oder/und
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+8)²} = -\sqrt{25} \end{eqnarray*}$

Grund:
x+8 kann entweder eine positive Zahl und wenn ich diese quadriere komme ich auf eine positive und wenn ich diese dann radiziere komme ich auch auf eine positive in diesem Fall Wurzel 25 = 5.
Also auch:

$\begin{eqnarray*} x+8 = 5 \end{eqnarray*}$

x+8 kann aber auch negativ sein und wenn ich diese quadriere komme ich auf eine positive und wenn ich diese dann radiziere komme auch auf eine positive. Dann würde dort stehen:

$\begin{eqnarray*} x+8 = 5 \end{eqnarray*}$

obwohl x+8 negativ seien sollte, also setze ich ein - vor die 5 oder auch die Wurzel 25 um beide Möglichkeiten in betracht zu ziehen. Einmal dass x+8 Positiv und einmal, dass es Negativ ist.

Soweit alles richtig verstanden?

06.04.2006, 17:57

JochenX

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ich weiß immer noch nicht, warum du dich weigerst, die einfache Betragsmethode zu akzeptieren smile

$\begin{eqnarray*} (x+8)^2=25 <=> (x+8)^2=5^2 <=> |x+8|=|5| <=> |x+8|=5 \end{eqnarray*}$
(du kannst 25 GENAUSO auch als (-5)^2 schreiben, nachprüfen)
daraus folgen sofort deine beiden möglichen Gleichungen mit ODER.
und du brauchst nur $\begin{eqnarray*} x^2=y^2 <=> |x|=|y| \end{eqnarray*}$ , was klar sein sollte (!).

Deine letzte Aussage ist in meinen Augen wieder so lang, dass ich nicht beurteilen kann, ob du vermutlich das richtige meinst, es nur nicht gut ausdrücken kannst, oer ob.... unglücklich

06.04.2006, 18:20

Leopold

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Zitat:

Original von Mathefan
Also nehmen wir als Beispiel:
$\begin{eqnarray*} (x+8)² = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+8)²} = \sqrt{25} \end{eqnarray*}$
oder/und
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+8)²} = -\sqrt{25} \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht. Es muß heißen:

$\begin{eqnarray*} (x+8)^2 = 25 \ \ \Leftrightarrow \ \ \sqrt{(x+8)^2} = \sqrt{25} \end{eqnarray*}$

Was heißt denn hier $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ? Das ist doch so zu verstehen, daß (hier über der Grundmenge $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) beide Gleichungen dieselbe Lösungsmenge haben. Das bedeutet nämlich "Äquivalenzumformung". Setze $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=-13 \end{eqnarray*}$ ein. Diese und nur diese Zahlen erfüllen beide Gleichungen. Daher sind beide Gleichungen äquivalent.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+8)^2} = - \sqrt{25} \end{eqnarray*}$ wird dagegen von keiner einzigen reellen Zahl erfüllt. Die hat hier nichts verloren und ist grober Unfug.

Wenn du das Ganze wurzelfrei schreiben willst, dann bekommst du eine Oder-Aussage. Ich mache daher oben weiter:

$\begin{eqnarray*} (x+8)^2 = 25 \ \ \Leftrightarrow \ \ \sqrt{(x+8)^2} = \sqrt{25} \ \ \Leftrightarrow \ \ x+8 = \sqrt{25} \ \ \text{oder} \ \ x+8 = - \sqrt{25} \end{eqnarray*}$

Und da der Zwischenschritt zwar richtig ist, aber zur Erhellung der Angelegenheit nichts beiträgt, gleich so:

$\begin{eqnarray*} (x+8)^2 = 25 \ \ \Leftrightarrow \ \ x+8 = \sqrt{25} \ \ \text{oder} \ \ x+8 = - \sqrt{25} \end{eqnarray*}$

Man muß sich einfach Folgendes merken. Ist $\begin{eqnarray*} c \geq 0 \end{eqnarray*}$ , so besteht die Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} T^2 = c \ \ \Leftrightarrow \ \ T = \sqrt{c} \ \ \text{oder} \ \ T = - \sqrt{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ soll hier symbolisch für "Term" stehen. Bei deiner Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} T = x+8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=25 \end{eqnarray*}$ .

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