Frage zur inversen Potenzmethode

30.06.2008, 23:20

Buef

Frage zur inversen Potenzmethode

Wir haben im Skript etwas, was ich nicht ganz verstehe

Inverse Potenzmethode
Idee: Iteriere mit $\begin{eqnarray*} (A-\mu I )^{-1} \end{eqnarray*}$

Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} (A- \mu I )^{-1} = \frac{1}{\lambda - \mu } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ EW von A

$\begin{eqnarray*} x^{k+1} = (A-\mu I )^{-1} x^k \Leftrightarrow (A-\mu I )x^{k+1}=x^k \end{eqnarray*}$

konvergiert gegen den nächstgelegender EW von $\begin{eqnarray*} (A-\mu I )^{-1} \end{eqnarray*}$

Frage: Was ist das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ?

30.06.2008, 23:29

kiste

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$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist ein Shiftparameter. Die Potenzmethode konvergiert ja normalerweise gegen den größten Eigenwert/vektor. Jetzt verschiebt man das Spektrum derart mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ das man auch die anderen EW/EV bekommen kann.

30.06.2008, 23:37

Buef

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Also sagen wir mal, dass wir den größten Eigenwert/vektor haben. Der sei jetzt genau 5. Wir vermuten, dass ein Eigenwert in der nähe von 2 liegt. Also wählen wir $\begin{eqnarray*} \mu=3 \end{eqnarray*}$

Aber jedesmal eine Inverse Matrix zu erstellen ist doch sehr aufwendig! Oder übersehe ich da etwas?

02.07.2008, 13:14

kiste

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So genau weiß ich das leider auch nicht. Aber im Prinzip solltest du schon Recht haben. Warum man dann also nicht stattdessen einfach eine QR-Iteration macht? verwirrt

02.07.2008, 13:21

therisen

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Zitat:

Original von Buef
Aber jedesmal eine Inverse Matrix zu erstellen ist doch sehr aufwendig! Oder übersehe ich da etwas?

Nur weil man die inverse Matrix hinschreibt (aus theoretischen Gründen), heißt das noch lange nicht, dass man bei der praktischen Programmierung explizit die inverse Matrix berechnet (das ist nie der Fall).

02.07.2008, 18:19

Buef

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Aufgabe: Geben Sie eine Näherung für den Betragskleinsten EIgenwert an, indem Sie einen Schritt der inversen Potenzmethode ausführen. Benutzen Sie den Startvektor $\begin{eqnarray*} x_0 = (1,1,1)^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 10 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -3 & 1 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und ich habe nach der Potenzmethode den Betragsmax Eigenwert von ~11,5 berechnet

also nehme ich jetzt

$\begin{eqnarray*} (A-I \mu )^{-1} = \begin{pmatrix} -1,5 & -1 & 1 \\ 1 & -11,5 & -1 \\ -3 & 1 & -15,5 \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

darf ich hier die pseudoinversen nehmen?

$\begin{eqnarray*} (A-I \mu )^{-1} = \begin{pmatrix} -1,5 & -1 & 1 \\ 1 & -11,5 & -1 \\ -3 & 1 & -15,5 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} -2/3 & -1 & 1 \\ 1 & 2/23 & -1 \\ -1/3 & 1 & -2/31 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die richtige Inverse zu nehmen sehe ich als ein ganz großen Aufwand an?!

03.07.2008, 09:40

20_Cent

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Wie therisen schon sagte, die inverse wird nicht berechnet...

Benutze

$\begin{eqnarray*} x^{k+1} = (A-\mu I )^{-1} x^k \Leftrightarrow (A-\mu I )x^{k+1}=x^k \end{eqnarray*}$

und anschließend z.b. LR-Zerlegung.

mfG 20

03.07.2008, 16:50

Buef

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danke klappt!

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