Eigenbasis

06.04.2006, 19:08	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenbasis Hi... wir haben heute in Lin.Alg Eigenvektoren, Eigenwerte und Eigenbasen eingeführt... bei der Vorlesung hatten wir dann ein Beispiel: $\begin{eqnarray} A =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sei die Matrix zu einer Abbildung $\begin{eqnarray} f: K^2 \to K^2 \end{eqnarray}$ jetzt haben wir als Eigenwert raus $\begin{eqnarray} \lambda = 2 \end{eqnarray}$ Wir haben da ein Gleichungssystem aufgestellt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2x+y \\ 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so, dann hatten wir den Eigenraum bestimmt: $\begin{eqnarray} V_2 :=\{v \in V \| f(v) = 2v \} = \{\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}\| x \in K \} \end{eqnarray}$ und haben gesagt, dass es keine Eigenbasis gibt. so jetzt die Frage: Die Eigenbasis ist ja eine Basis, die nur aus Eigenvektoren besteht, aber soll die Basis eine Basis des Eigenraums sein? ( weil dann bin ich der Meinung wäre doch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Basis ) Oder soll die Eigenbasis, Basis für den Raum sein, auf dem der Endomorphismus definiert ist - hier also $\begin{eqnarray} K^2 \end{eqnarray}$ ? - weil dann gäbe es wirklich keine Basis...
06.04.2006, 19:36	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenbasis Das letztere ist korrekt, eine Eigenbasis ist eine Basis des Raumes und besteht nur aus Eigenvektoren. In diesem Fall ist 2 doppelter Eigenwert, es gibt aber dazu nur einen zugeordneten Eigenraum der Dimension 1. Grüße Abakus
06.04.2006, 19:37	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenbasis soll eine Basis des ganzen Vektorraumes sein. Sonst wäre es relativ witzlos und sie würde immer existieren (denn der Eigenraum ist ja selbst ein Vektorraum und jeder davon hat eine Basis...). edit: Abakus war ne Runde schneller als sein Schatten
06.04.2006, 20:15	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar - danke...

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