Ungleichung von Determinanten bei positiv definiten Matrizen

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Gast1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung von Determinanten bei positiv definiten Matrizen
Folgendes Problem habe ich

seien positiv semidefinite Matrizen

sei ebenfalls positiv semidefinit

Zu zeigen



Ich habe bei der bereits Probleme einen Ansatz als einigermaßen richtig zu identifizieren.

Meine erste Idee war, zu zeigen, dass die geordneten Eigenwerte von A größer sind als die von B. Falls A und B diesselben Eigenvektoren besitzen klappt das auch. Allerdings weiß ich nicht, ob das im allgemeinen Fall noch gilt. Bitte um Hilfe.
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Meine erste Idee wäre zu überprüfen ob in diesem Fall evtl. gilt

.

Ob das zum Erfolg führt weiß ich nicht, da die Determinante ja im allgemeinen Fall nicht linear ist.
Gast1234 Auf diesen Beitrag antworten »

@MisterMagister

das wird nicht funktionieren. Betrachte nur geeignet gewählte Diagonal- oder Dreiecksmatrizen.

Vielleicht gilt aber

Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

schonmal über folgendes nachgedacht: wie stehen determinante und eigenwerte zueinander?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Und dann, Nubler? Ich denke, mit seinen/ihren einleitenden Sätzen hat Gast schon darauf aufmerksam gemacht, dass er/sie was vom Thema versteht.

Für 2x2-Matrizen hab ich es... Man kann annehmen, dass A bereits in Diagonalaform vorliegt. B kann durch eine Transformationsmatrix S auf Diagonalgestalt gebracht werden. S ist orthogonal, und daher gilt (det S)² = 1. Das hab ich im Fall n = 2 anwenden können. Für größere n ist die Determinante nicht mehr so schön darstellbar, und es wird etwas komplizierter. Muss jetzt aber los...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich hab's... Seien (bzw. ) die normierten Eigenvektoren zu den Eigenwerten (bzw. ) von A (bzw. B). Für k = 1,...,n seien



und



Die Matrix S ist dann orthogonal, und es gilt (ausrechnen!)



Unter der Beachtung, dass für paarweise orthogonale Vektoren gilt



folgt mit der Bezeichnung für den i-ten Zeilenvektor von S:

 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Gast1234: Es waere schoen gewesen, wenn du dich wenigstens nochmal bedankt haettest. Ich hab dir schliesslich deine Aufgabe geloest. Ist schon etwas enttaeuschend...
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Ich hab dir schliesslich deine Aufgabe geloest.

Ähäm ... ---> Prinzip "Mathe online verstehen!" Teufel
bishop Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich bedanke mich für die Lösung, war ganz interessant
Gast1234 Auf diesen Beitrag antworten »

@webfritz Danke

habe gerade Prüfungszeit und hatte das "Problem" total verdrängt.

Sofort einsichtig ist mir zwar nicht, was du da getrieben hast. Werde mir morgen mal ein paar Minuten dafür zeit nehmen Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK smile
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