Unmögliches Ereignis

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papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
Unmögliches Ereignis
Hallo zusammen,
ich habe gerade ein bisschen über sichere und unmögliche Ereignisse nachgedacht. Ein Ereignis ist unmöglich, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür 0 beträgt. Bei unendlichen Stichprobenräumen muss das Ereignis aber nicht leer sein, was zu merkwürdigen Konsequenzen führt.
Nehmen wir mal eine Gleichverteilung auf an, in dem Sinne, dass jede Nachkommastelle einzeln mit der Wahrscheinlichkeit 0.1 gezogen wird. Wir "würfeln" also bis in alle Ewigkeit und schreiben die Resultate als Nachkommastellen auf.
Die Wahrscheinlichkeit z.b. die zu ziehen ist 0, denn . Das Ereignis würde man als unmöglich bezeichnen. Aber so richtig unmöglich ist es ja nicht, denn es gibt ja keinen Grund, dass irgendwann mal NICHT die 1 gezogen wird.
Mehr noch; für jede Zahl aus beträgt die Wahrscheinlichkeit, auf die Weise gezogen zu werden, Null. Insbesondere ist die W'keit für die gerade gezogene Zahl Null. Es sollte also unmöglich sein überhaupt eine Zahl zu ziehen. Irgendwie absurd.


Ps:
Ich weiß, dass es strenggenommen keine Gleichverteilung auf unendlichen Trägermengen gibt. Dennoch wird diese Art von "Gleichverteilung" bei einem Beweis eines -verwandten Problems benutzt. Ich frage mich daher, woran es scheitert diese Idee in eine wasserdichte Sigma-Algebra einzubetten. Fürs Auge ist das ja eine Gleichverteilung. Kann man vielleicht zeigen, dass die Zahlen doch nicht gleichverteilt sind?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Inhaltlich alles richtig, aber die Begriffe kenne ich doch ein wenig anders:

... unmögliches Ereignis
... sicheres Ereignis
mit ... fast unmögliches Ereignis
mit ... fast sicheres Ereignis
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bezeichnungen machen da natürlich mehr Sinn, das scheint aber nicht überall so definiert zu sein.
Weißt du, ob man beweisen kann, dass diese Konstruktion (k)eine Gleichverteilung ist?
bil Auf diesen Beitrag antworten »

so ein ähnliches thema wurde auch schonmal besprochen.
Wahrscheinlichkeit-Punkt in/ausserhalb/auf Kreis
könnte vll für dich interessant sein...

gruss bil
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@papahuhn

Den Abschnitt hatte ich vorhin noch gar nicht gelesen...

Was man als "Gleichverteilung" bezeichnet, ist natürlich Definitionssache. Die stetige Gleichverteilung ist z.B. auf überabzählbarer Trägermenge definiert, und zwar über das Lebesgue-Borel-Maß, und das mathematisch sauber.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

@bil: Stimmt, das ist ziemlich das gleiche Thema.

@Arthur: Wie soll denn die Dichtefunktion der gleichverteilung auf aussehen?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von papahuhn
@Arthur: Wie soll denn die Dichtefunktion der gleichverteilung auf aussehen?

Die gibt's nicht - ich habe ja nicht von ganz geredet! Sondern von endlichen Intervallenl , die sind ja auch überabzählbar.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, wie sieht die Dichtefunktion auf aus? Die kann ich mir auch nicht vorstellen.


LOL, vergiss es!

Nachtrag:

Das bedeutet also, dass die obige Konstruktion durchaus eine Gleichverteilung auf sein kann. Aber die Idee lässt sich auch ausweiten. Man könnte nämlich sagen, dass man abwechselnd die Ziffern der Nachkommastellen und der Vorkommastellen zieht. Bei den Nachkommastellen notiert man die Ziffern von links nach rechts, die Vorkommastellen von rechts nach links. Das sieht erstmal wie eine Gleichverteilung auf aus, die es aber nicht geben dürfte, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Nachweis, dass es keine Gleichverteilung auf ganz gibt: Wie gesagt, man muss ja erstmal sauber festlegen, was "Gleichverteilung" ausmacht. Und da wäre z.B. eine natürliche Forderung die Translationsinvarianz, d.h. für alle Borel-Ereignisse und reellen "Verschiebungen" . Also salopp, gleichlange Intervalle sollen auch gleichwahrscheinlich sein.

Und diese Forderung genügt bereits, um eine solche Gleichverteilung zu Fall zu bringen, denn dann müsste gelten:



Aus folgt , aus dagegen , beides im Widerspruch zur Forderung .
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mit dem Beweisprinzip kann man auch die Nichtexistenz einer Gleichverteilung auf zeigen. Dennoch beißt sich das mit der "konstruierten Gleichverteilung" auf (siehe Nachtrag oben).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann aber eine Verteilung, die nicht mehr die Eigenschaft der Translationsinvarianz hat. Das dann noch als Gleichverteilung zu bezeichnen, halte ich nicht für gerechtfertigt. Aber das ist natürlich Ansichtssache.

Abgesehen davon, dass ich mir dein Konstruktionsprinzip nocht nicht so genau angesehen habe, um sagen zu können, dass es eine Verteilung sauber definiert.


EDIT: Wie's aussieht ist die Definition nicht korrekt, jedenfalls nicht als W-Maß auf der Borel-Sigmaalgebra der reellen Zahlen: Denn nach deiner Konstruktion ist für jedes endliche Intervall , und über



kommen wir wieder zum Widerspruch zur Annahme, dass P ein W-Maß auf ist.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Abgesehen davon, dass ich mir dein Konstruktionsprinzip nocht nicht so genau angesehen habe, um sagen zu können, dass es eine Verteilung sauber definiert.


Ich vermute, dass es das nicht tut.

Der "Gleichverteilungsgedanke" geht bei papahuhn ja so ein, dass das "Ziehen" einer Nachkommastelle ja immer gleichwahrscheinlich sein soll.
Wie man davon aber z.B. auf P([0,1])=1 kommen soll, seh ich spontan nicht.

Edit:
Zitat:
Original von Arthur Dent
Denn nach deiner Konstruktion ist für jedes endliche Intervall


Warum? Das wäre doch eine überabzählbare Vereinigung? Wie schliesst du ansonsten?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig vermutet, siehe mein EDIT.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Frage: siehe mein Edit Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Für ein endliches, besser formuliert beschränktes Intervall gibt es ein mit . Also ist nach Maßmonotonie , und letzteres ist nach papahuhns Konstruktionsprinzip gleich Null, denn: Ab der (n+1)-ten Stelle vor dem Komma kommen immer nur Nullen zur Auswahl (jeweils mit Wkt. 0,1), also gilt

.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ab der (n+1)-ten Stelle vor dem Komma kommen immer nur Nullen zur Auswahl (jeweils mit Wkt. 0,1), also gilt

.


Aber hier argumentierst du doch für eine einzelne "gezogene" Zahl, nicht für das ganze Intervall.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein: Alle Zahlen dieses Intervalls gehen da mit ein. Die Nachkommastellen, sowie die Stellen 1..n vor dem Komma gehen ja mit Faktor 1 in das Produkt ein, die hab ich weggelassen.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ihr nicht aneinander vorbeiredet:
Falls die erweiterte Konstruktion auf gemeint ist, hat Arthur Recht; in dem Fall ist die Wahrscheinlichkeit jedes endlichen Intervalls 0.
Falls es aber um geht, scheint mir das zu funktionieren. Um im Intervall zu landen, muss die erste Ziffer 0 sein, die restlichen sind dann beliebig. Das entspricht tatsächlich der W'keit 1/10.

Wie es scheint, schlägt bei dieser Konstruktion hauptsächlich der Gleichverteilungsgedanke durch. Denn wenn alle Intervalle die W'keit 0 haben, sind sie ja gleichverteilt, auch wenn die Summe nicht mehr 1 ergibt.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Nein: Alle Zahlen dieses Intervalls gehen da mit ein. Die Nachkommastellen, sowie die Stellen 1..n vor dem Komma gehen ja mit Faktor 1 in das Produkt ein, die hab ich weggelassen.


Ahja, ich glaube ich hätte Jochens Signatur etwas mehr beherzigen sollen... Schläfer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mal maßtheoretisch "sauber": papahuhn definiert sein (vermeintliches) W-Maß auf auf Zylindermengen



wobei unterschiedliche ganze Zahlen sind (z.B. positiv für die Nachkommastellen, nichtnegativ für die Vorkommastellen), und die zugehörigen Ziffern an den Stellen. Und dieses Konstruktionsprinzip habe ich zum Widerspruch geführt, da ja



für alle gilt, und darauf beruht dann meine Wahrscheinlichkeitsabschätzung mit dem Grenzwert.
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