Maximum am Rande des Definitionsbereiches

01.07.2008, 12:01

Starbuck

Maximum am Rande des Definitionsbereiches

Eine Funktion f, die auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ definiert ist, soll bei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein lokales Maximum haben. Ich soll nun beweisen, dass $\begin{eqnarray*} f'(b)\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Auch der Beweis in die andere Richtung, also dass eine solche Funktion mit $\begin{eqnarray*} f'(b)>0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein isoliertes lokales Maximum hat, soll erfolgen.
Theoretisch ist mir vollkommen klar, warum das nicht anders sein kann. Was mich stört ist, das die Aufgabenstellung zu den Maxima sagt es gäbe ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b)\geq f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (b-\delta,b) \end{eqnarray*}$ .
Mit Beweisen allgemein bin ich noch nicht so erfahren und ich gehe schwer davon aus, dass man irgendwie allgemein die Existenz eines solchen $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ beweisen muss, aber wie?

01.07.2008, 12:32

tmo

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Dass es so ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt, ist vorausgesetzt (bei der Hinrichtung), denn dies ist gerade die Definition eines solchen Maxima.

Also mal zur Hinrichtung:

f ist in b differenzierbar, also gilt mit $\begin{eqnarray*} b_n = b -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{f(b_n)-f(b)}{b_n-b} = f'(b) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{\delta} \end{eqnarray*}$ gilt nun $\begin{eqnarray*} b_n \in (b-\delta,b) \end{eqnarray*}$ , also...

01.07.2008, 13:21

Starbuck

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Dann ist doch $\begin{eqnarray*} f(b_n) < f(b) \end{eqnarray*}$ (nach der Definition des $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ) und damit auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{f(b_n)-f(b)}{b_n - b} > 0 \end{eqnarray*}$ weil ja Zähler und Nenner bei der Grenzwertbildung negativ sind, oder?

01.07.2008, 13:30

tmo

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Zitat:

Original von Starbuck
und damit auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{f(b_n)-f(b)}{b_n - b} > 0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt so noch nicht.

Es folgt sofort $\begin{eqnarray*} \frac{f(b_n)-f(b)}{b_n - b} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , jetzt musst du daraus weiterfolgern, dass $\begin{eqnarray*} f'(b) \geq 0 \end{eqnarray*}$ (Beachte, dass auch Gleichheit gelten kann) gilt.

Ihr habt dazu bestimmt schon eine entsprechende Aussage bewiesen, die besagt, dass aus $\begin{eqnarray*} a_n \geq s \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \geq s \end{eqnarray*}$ folgt.

01.07.2008, 13:53

Starbuck

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Äh, leider bin ich nicht so tief in der Materie, dass mir diese Regel bekannt wäre. Kann ich mich denn einfach darauf berufenund damit den Beweis abschließen?

01.07.2008, 14:07

tmo

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Dann beweise diese Aussage doch Augenzwinkern

Das folgt direkt aus der Definition des Grenzwertes einer Folge.

01.07.2008, 17:08

Starbuck

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Also wenn $\begin{eqnarray*} a_n \geq s \end{eqnarray*}$ und es bildlich gesprochen keine Zahl gibt, die Zwischen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und den Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ passt (denn das wird ja in der Definition mit der $\begin{eqnarray*} \epsilon-\mathrm{Umgebung} \end{eqnarray*}$ ausgedrückt), dann muss doch auch dieser Grenzwert, also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \geq s \end{eqnarray*}$ sein. Im schlimmsten fall wäre dann hier die Gleichheit möglich.

01.07.2008, 17:23

tmo

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Oder auf Mathematik Augenzwinkern

:

Angenommen der Grenzwert a ist kleiner als s, d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a = s-h \end{eqnarray*}$ . Nach Vorraussetzung ist $\begin{eqnarray*} a_n \geq s > a \end{eqnarray*}$ , also gilt: $\begin{eqnarray*} |a_n-a|=a_n-a=a_n-s+h \geq h \end{eqnarray*}$ .

Dies ist aber ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} a = \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$

01.07.2008, 19:41

Starbuck

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Vielen Dank für deine Hilfe soweit. Ich habe jetzt mal versucht, das Ganze umzukehren und die Gegenrichtung zu beweisen:

Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f'(b) > 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} b_n=b-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist dann
$\begin{eqnarray*} f'(b) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(b_n)-f(b)}{b_n-b} > 0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt gilt es zu beweisen, dass auch $\begin{eqnarray*} \frac{f(b_n)-f(b)}{b_n - b} > 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Kann ich dazu denselben Beweis wie eben heranziehen oder muss der auch noch umgekehrt werden? Das sieht nämlich so logisch aus.
Wie auch immer, wenn dann $\begin{eqnarray*} \frac{f(b_n)-f(b)}{b_n-b}>0 \end{eqnarray*}$ bewiesen ist, kann man sagen, dass für $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\delta}~~~ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ~~b_n \in (b-\delta,b) \end{eqnarray*}$ ist. Es gilt $\begin{eqnarray*} b_n<b \end{eqnarray*}$ , also muss $\begin{eqnarray*} b_n-b<0 \end{eqnarray*}$ sein. Damit obige Bedingung erfüllt ist, muss dann auch $\begin{eqnarray*} f(b_n)-f(b)<0 \end{eqnarray*}$ sein, also muss $\begin{eqnarray*} f(b_n)<f(b) \end{eqnarray*}$ sein. Analog gibt es also ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b)>f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (b-\delta,b) \end{eqnarray*}$ .

Damit bin ich ganz zufrieden, bin mir aber nicht sicher, was mit diesem Zwischenbeweis ist...

01.07.2008, 21:43

WebFritzi

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Wie definierst du denn dein Delta? So ist das nicht OK. Es kann ungefähr so gehen: Angenommen, es gebe kein delta, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x)\le f(b) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (b-\delta,b). \end{eqnarray*}$

Dann gibt es eine monoton wachsende Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\to b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_n) > f(b). \end{eqnarray*}$ Was folgt nun?

01.07.2008, 22:11

Starbuck

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Dann muss doch aber $\begin{eqnarray*} f'(x_n)<0 \end{eqnarray*}$ sein, oder?

01.07.2008, 22:55

tmo

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$\begin{eqnarray*} f'(x_n) \end{eqnarray*}$ interessiert doch nicht. Es interessiert doch $\begin{eqnarray*} f'(b) \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dazu mal $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_n)-f(b)}{x_n-b} \end{eqnarray*}$

02.07.2008, 00:45

Starbuck

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Also da $\begin{eqnarray*} f(x_n)>f(b) \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} f(x_n)-f(b)>0 \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist $\begin{eqnarray*} x_n < b \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x_n - b< 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_n)-f(b)}{x_n - b} \end{eqnarray*}$ bedeutet das dann, das dies kleiner Null sein muss.
Ist nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n)-f(b)}{x_n - b} = f'(b) \end{eqnarray*}$ und in diesem Fall mithilfe oben bereits bewiesener Aussage auch negativ (weil ja $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_n)-f(b)}{x_n - b} \end{eqnarray*}$ schon negativ ist), was ja der Definition widerspräche?
Damit müsste doch dann bewiesen sein, das es ein solches Delta nicht nicht geben kann, es also existiert.

02.07.2008, 00:49

tmo

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Die Argumentation ist richtig. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{f(x_n)-f(b)}{x_n-b} \end{eqnarray*}$ nicht zwingend negativ, sondern es kann auch Null sein. Aber das reicht ja schon für den Widerspruch.

02.07.2008, 00:51

Starbuck

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Herzlichsten Dank, dann habe ich es ja jetzt zusammen. Ihr wart eine echte Hilfe Freude

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