differenzierbar

01.07.2008, 13:10

hxh

differenzierbar

Hi ich habe folgende Funktion gegeben und will untersuchen , ob sie diffbar ist.

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x³}{x²+y²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$

Ich würde nun die Definition benutzen

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0}\frac{f(0+th)-f(0)}{t} \end{eqnarray*}$

Also haben wir $\begin{eqnarray*} \frac{ (\frac{th_1}{h_1²+h_2²} )}{t} =h_1/( h_1²+h_2²) \end{eqnarray*}$ woraus man dann folgern , dass wenn $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ existieren sollte auch alle Richtungsableitungen null sein müssten aber das ist ja zb für (1,0)=1 schon nicht der fall also ist f in (0,0) nicht diffbar.

Nehmen wir mal an das mit den Richtungsableitungen würde passen und f wäre diffbar , dann müsste ich noch Stetigkeit überprüfen. Wie man Stetigkeit widerlegen kann ist mir klar nämlich mit 2 Folgen , die nich gegen den gleichen Grenzwert konvergieren. Meine Frage nun wie kann man ohne einen Epsilon delta Beweis zeigen dass diese Funktion stetig.

ICh hab von jemand erfahren man könnte diese Abschätzung treffen
$\begin{eqnarray*} \frac{x²}{x²+y²}*x \leq x \end{eqnarray*}$ und dann daraus stetigkeit folgern nur verstehe ich nicht wieso .

01.07.2008, 15:57

Abakus

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RE: differenzierbar

Zitat:

Original von hxh
Also haben wir $\begin{eqnarray*} \frac{ (\frac{th_1}{h_1²+h_2²} )}{t} =h_1/( h_1²+h_2²) \end{eqnarray*}$ woraus man dann folgern , dass wenn $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ existieren sollte auch alle Richtungsableitungen null sein müssten aber das ist ja zb für (1,0)=1 schon nicht der fall also ist f in (0,0) nicht diffbar.

Da sollte eine 3-te Potenz von $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ im Zähler stehen.

Dein Argument mit den Richtungsableitungen ist für mich zu kurz formuliert, was meinst du hier ?

Grüße Abakus smile

01.07.2008, 16:34

hxh

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RE: differenzierbar
$\begin{eqnarray*} \frac{ (\frac{th_1}{h_1²+h_2²} )}{t} =h_1³/( h_1²+h_2²) \end{eqnarray*}$

ja stimmt Hammer

der grenzwert sollte ja 0 sein dass heisst egal welchen richtungsvektor man da einsetzt, dass der grenzwert 0 ist, aber das ist ja nicht gegeben also existieren nicht alle richtungsableitungen und der spaß ist nicht partiell diffbar und somit auch nicht diffbar.

kannst du mir auch was zu stetigkeit sagen?

01.07.2008, 16:39

tmo

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RE: differenzierbar

Zitat:

Original von hxh

ICh hab von jemand erfahren man könnte diese Abschätzung treffen
$\begin{eqnarray*} \frac{x²}{x²+y²}*x \leq x \end{eqnarray*}$ und dann daraus stetigkeit folgern nur verstehe ich nicht wieso .

Aus $\begin{eqnarray*} |f(x,y)| \leq |x| \end{eqnarray*}$ folgt doch sofort $\begin{eqnarray*} |f(x,y)| \leq |x| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| \leq \| (x,y) \| < \delta := \varepsilon \end{eqnarray*}$

01.07.2008, 19:31

Abakus

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RE: differenzierbar

Zitat:

Original von hxh
der grenzwert sollte ja 0 sein dass heisst egal welchen richtungsvektor man da einsetzt, dass der grenzwert 0 ist, aber das ist ja nicht gegeben also existieren nicht alle richtungsableitungen und der spaß ist nicht partiell diffbar und somit auch nicht diffbar.

kannst du mir auch was zu stetigkeit sagen?

Also du meinst 2 Richtungsvektoren gefunden zu haben, nach denen die Richtungsableitung im Nullpunkt verschieden ist ? Das müsstest du für einen nachvollziehbaren Lösungsweg genauer ausführen und darstellen.

Nur weil 2 Richtungsableitungen verschieden sind, bedeutet das nicht, das nicht alle Richtungsableitungen existieren. Auch sagt das über die partiellen Ableitungen erst recht nichts aus.

Du kannst aber folgern, dass f wegen der verschiedenen Richtungsableitungen im Nullpunkt (wenn du sie denn angegeben hättest), dort nicht differenzierbar ist.

Die Stetigkeit sollte sich mit dem Hinweis von tmo erledigt haben.

Grüße Abakus smile

01.07.2008, 21:54

WebFritzi

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RE: differenzierbar

Zitat:

Original von hxh
woraus man dann folgern , dass wenn $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ existieren sollte auch alle Richtungsableitungen null sein müssten

Wieso auch??? Mich düngt, du mischst hier "existieren" und "gleich Null sein" durcheinander...

02.07.2008, 01:26

hxh

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ja das ist natürlich irsinnig
die richtungsableitungen müssen einfach existieren

02.07.2008, 02:16

WebFritzi

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Und das tun sie ja. Aber daraus folgt noch nicht die Differenzierbarkeit. Die folgt, wenn die partiellen Ableitungen stetig sind (in Null). Das sind sie aber nicht (wieso?). Leider ist dieses Kriterium nur ein notwendiges. Deshalb ist nun immernoch nicht geklärt, ob die Funktion differenzierbar ist in Null.

EDIT: Ist sie nicht. Augenzwinkern

02.07.2008, 16:26

hxh

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Also klar ist mir , dass alle Richtungsableitungen existieren müssen und noch etwas mit den richtungsableitunge ? Stetigkeit aller partiellen Ableitungen im Nullpunkt ist eben auch noch notwendig, damit die Funktion diffbar ist.

02.07.2008, 19:42

Gast12345

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die stetigkeit lässt sich in diesem fall ganz leicht mit polarkoordinaten zeigen.
$\begin{eqnarray*} f(r*\cos(\alpha) , r*\sin(\alpha)) = \frac{r^3*\cos^3(\alpha)}{r^2*\cos^2(\alpha)+r^2\sin(\alpha)} = r*\cos^3(\alpha) \end{eqnarray*}$
und dann weiter laut definition:
$\begin{eqnarray*} \mid f(r*\cos(\alpha) , r*\sin(\alpha)) - f(0,0) \mid = r\mid \cos^3(\alpha) \mid \end{eqnarray*}$ und das strebt für r->0 gegen 0.

mit kartesischen koordinaten kannst du deinen ansatz verwenden.
die abschätzung kannst du deshalb machen, weil der nenner immer größer ist als der zähler und somit der bruch kleiner-gleich 1 ist!

03.07.2008, 13:51

Abakus

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Zitat:

Original von hxh
Stetigkeit aller partiellen Ableitungen im Nullpunkt ist eben auch noch notwendig, damit die Funktion diffbar ist.

Nein, aus differenzierbar folgt i.A. nicht einmal im 1-dimensionalen stetig differenzierbar.

Schau dir die verschiedenen Differenzierbarkeits-Eigenschaften mal an.

Grüße Abakus smile

03.07.2008, 14:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von WebFritzi
Aber daraus folgt noch nicht die Differenzierbarkeit. Die folgt, wenn die partiellen Ableitungen stetig sind (in Null). [...] Leider ist dieses Kriterium nur ein notwendiges.

Ich meinte natürlich "hinreichendes". Sorry.

03.07.2008, 17:01

gast1

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@Webfritzi: Es heißt "dünken". smile

03.07.2008, 18:07

WebFritzi

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danken

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