n^20=0,5 nach n umstellen

08.04.2006, 17:07

physichist

n!/(n-20)!*1/n^20=0,5 nach n umstellen

jo,ich müsste die funktion P(n)=n!/(n-20)!*1/n^20=0,5 nach n umstellen, also n ermitteln. welches verfahren wäre da am besten zu nutzen?

08.04.2006, 17:12

JochenX

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für n>20 ist das ein Polynom hohen Grades (schreibe n!/(20-n!)=n*(n-1)*.... und beide Seiten mal n^20 gibt dann =0,5*n^20)

du kannst ein Polynom 20. Grades im seltensten Fall nah n umstellen, vermutlich ist es für natürliche n auch gar nicht lösbar, aber du kannst das sicher annähern, vermutlich sogar mit Rechnerhilfe raten.

08.04.2006, 17:14

Leopold

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Das wäre Zufall, wenn diese Gleichung in natürlichen Zahlen lösbar wäre.
Ist das nicht eher eine Ungleichung: $\begin{eqnarray*} P(n) \geq 0{,}5 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(n) \leq 0{,}5 \end{eqnarray*}$ ?

08.04.2006, 17:16

physichist

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ich hab versucht die funktion mit mupad zu ploten,aber mupad macht das nicht mit. was gibts noch für ploter, die leicht zugänglich sind?

08.04.2006, 17:17

bil

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ich schätze mal es steckt eine stochastik aufgabe hinter. du kannst sie ja mal posten, vll kann man nämlich noch anders ans n rankommen.

08.04.2006, 17:18

physichist

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als ungleichung kann man´s auch sehen. es gibt in der aufgabestellung mehrere fragen,unteranderem muss man die gleichung auch als ungleichung ausdrucken

08.04.2006, 17:20

sqrt(2)

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Es ist $\begin{eqnarray*} P(281)\approx0.5004 \end{eqnarray*}$ ... Mupad würde das wohl auch mitmachen, wenn du statt $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-20)!} \end{eqnarray*}$ auschriebest: $\begin{eqnarray*} n(n-1)(n-2)...(n-19) \end{eqnarray*}$ .

08.04.2006, 17:21

physichist

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aufgabe ist:

es gibt 20 verschiedene namen. wieviele menschen müssten in einer gruppe sein, damit jeder name in der gruppe vertreten wird?

08.04.2006, 17:29

JochenX

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Zitat:

Original von physichist
es gibt 20 verschiedene namen. wieviele menschen müssten in einer gruppe sein, damit jeder name in der gruppe vertreten wird?

das wirklich ALLE Namen vertreten sind, kannst du niemals bestimmt sagen.
Es ist für jede endliche Menschenmenge möglich, dass alle Horst heißen.

Woher die 0,5? das klingt eher nach "bei welcher Anzahl von Leuten" sind zu 50% alle vertreten oder sowas.....!?

08.04.2006, 17:34

physichist

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meinte ich doch, also wieviele vertreter müssen sein,damit man zu
50% sagen kann dass alle namen vertreten sind

08.04.2006, 20:42

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Durch Rückwärtsschließen vom Ansatz $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-20)!\cdot n^{20}} = 0.5 \end{eqnarray*}$ aus sieht es für mich eher nach folgender Frage aus:

Zitat:

Wie groß ist die Anzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ an auswählbaren Namen, so dass in einer Gruppe von 20 Leuten mit etwa 50% Wahrscheinlichkeit alle verschiedenen Namen haben?

(Dabei wird wieder mal vorausgesetzt, dass jeder Name mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, was in der Realität bekanntermaßen nicht stimmt.)

EDIT: Die exakte Lösung dieser Frage

Zitat:

Original von physichist (korrigiert)
aufgabe ist:

es gibt 20 verschiedene namen. wieviele menschen müssten in einer gruppe sein, damit mit wenigstens 50% Wahrscheinlichkeit jeder name in der gruppe vertreten ist?

kann hingegen mit der Einschluss-Ausschluss-Formel bestimmt werden. Wie so oft, ergibt sich dabei eine häßliche, nicht zu vereinfachende Summenformel für $\begin{eqnarray*} p=p(n) \end{eqnarray*}$ , wobei dann das kleinste $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(n)\geq 0.5 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen ist...

EDIT2: Mit "häßlich" meine ich

$\begin{eqnarray*} p(n) = \frac{1}{m^n} ~ \sum_{j=0}^m ~ (-1)^j {m \choose j} (m-j)^n = \frac{1}{m^n} ~ \sum_{k=0}^m ~ (-1)^{m-k} {m \choose k} k^n \end{eqnarray*}$ ,

hier für $\begin{eqnarray*} m=20 \end{eqnarray*}$ Namen. Mit der Abschätzung

$\begin{eqnarray*} p(n) \geq \frac{1}{m^n} ~ \sum_{j=0}^1 ~ (-1)^j {m \choose j} (m-j)^n = 1-m\left( 1 - \frac{1}{m} \right)^n \end{eqnarray*}$

gelangt man immerhin zu einer hinreichenden, d.h. oberen Abschätzung: Gilt nämlich bereits $\begin{eqnarray*} 1-m\left( 1 - \frac{1}{m} \right)^n \geq 0.5 \end{eqnarray*}$ , so gilt erst recht $\begin{eqnarray*} p(n)\geq 0.5 \end{eqnarray*}$ . Allerdings erhält man auf diese Weise eben nicht die genaue Grenze für das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sondern nur eine obere Schranke davon.

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